Una prueba elemental para un límite de $x \log x$

Question

Durante uno de nuestros teoría de la información de las clases, el Profesor utiliza la siguiente obligados a demostrar un resultado.

Para cualquier $x,y \in (0,1)$, $x \neq y$, mostrar que $$|x \log(x) - y \log(y) | \leq |x-y|\log \left(\frac{1}{|x-y|}\right)$$

Observe que el lado derecho es positivo cuando se ponen de esta manera. También tenga en cuenta que la base del logaritmo es irrelevante aquí(me toma de la base de $e$ para simplificar los cálculos). Mirando a $|x-y|$, he pensado en usar valor medio teorema. W. L. O. G deje $x > y$. A continuación, aplicando el valor medio el teorema de $u \log u$, tenemos

$$x \log(x) - y \log(y) = (x-y)(1 + \log z) = (x-y)(\log ez)$$

para algunos $z \in (y,x)$. Ahora no sé cómo mostrar (después de la eliminación de registros).

$$ez \leq \left(\frac{1}{x-y}\right)$$

Me gustaría saber si mi enfoque tiene ninguna promesa, así como cualquier otras maneras de conseguir esto. Como siempre, las sugerencias se agradece.

Edit: Parece que cometió un error, mientras que la publicación de este problema, al parecer, el resultado también se requiere que el $|x-y| \le 0.5$. Por favor tenga en cuenta esto.

Answer 1

Que suponemos $x,y\in(0,1)$ y $|x-y|=h$. Queremos probar:

$$ \sup_{\substack{x,y\in (0,1)\\ |x-y|=h}}\left|x \log x-y\log y\right|\leq -h\log h \tag{1}$ $ $f(x)=x\log x$ es una función convexa en $I=(0,1)$, basta probar $(1)$ $\min(x,y)\to 0^+$ $\max(x,y)\to 1^-$. El primer caso es trivial, puesto que $\lim_{x\to 0^+}x\log x = 0$.

Así que sólo tenemos que comprobar: $$ \forall h\in(0,1),\qquad -(1-h)\log(1-h) \leq -h\log h \tag{2}$ $ pero que tiene sólo si $\color{red}{h\leq\frac{1}{2}}$.

Answer 2

Por lo que he probado, el valor de la media enfoque no funcionará. Así que me encontré con otro enfoque utilizando el método de secantes. Dada una función de $f$, definir para cualquier par de números reales $b$ y $a$, $b \ne a$ $$R(b,a) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Ahora para una función convexa (se necesita nada más que la definición), se puede demostrar que para $a < b < c$ $$R(c,b)\ge R(c,a) \ge R(b,a)$$

Podemos deducir de las funciones convexas que si $a< b$, $c < d$, $a < c$ y $b<d$, $$R(b,a) \le R(d,c)$$ Flip todas las desigualdades de funciones cóncavas. Ahora en mi problema, vamos a $f(u) = -u\log(u)$. Set $f(0)=0$ aquí. Tenga en cuenta que esta es una función cóncava. Ahora, asumiendo $x > y$ en la pregunta original, vamos a $x-y = \tau$. Así, tenemos por poner $a=0$, $b=\tau$, $c=y$ y $d=x=y+\tau$, que

$$R(x,y) \leq R(\tau,0)\Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \leq \frac{f(\tau)}{\tau} \\ \Rightarrow f(x) -f(y) \leq f(\tau)$$

Del mismo modo señaló que $f(1)=0$ y poner $a=y$, $b=x=y+\tau$, $c=1-\tau$, $d=1$, tenemos $$f(x) -f(y) \geq -f(1-\tau)$$ Por lo tanto, tomando nota de que $f(u) \geq 0$$u\in(0,1]$, obtenemos $$|f(x) -f(y)| \leq \max\{f(\tau),f(1-\tau)\}$$ Desde $\tau \leq 1/2$, $f(\tau) \geq f(1-\tau)$ lo que completa la prueba. $\blacksquare$