Que $\phi$ φ de Euler y $f : [0,1] \to \mathbb{C}$ por trozos continuas. Probar que $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\phi(n)} \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\ \gcd (k, n) = 1}} f\Bigl(\frac{k}{n}\Bigr) = \int_{0}^{1} f (x) \,dx $$
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Adren
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La función Jacobstahl se define en $j(n)$ = la distancia máxima entre números consecutivos enteros coprimos $n$.
Se puede demostrar que (ver aquí) que $j(n)=O(\ln^2(n))$, que demuestra que el tamaño de acoplamiento de la partición tiene límite $0$ $n\to\infty$, por lo tanto, la conclusión.
Adren
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Posible esbozo de una escuela primaria (aunque no simple) prueba
Deje $f$ ser un seccionalmente continua, compleja función con valores definidos en $[0,1]$.
Considere, por todos los $n\ge1$ :
$$F(n)=\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)\quad\mathrm{and}\quad F^\star(n)=\sum^\star f\left(\frac kn\right)$$
donde $\displaystyle{\sum^\star}$ denota $\displaystyle{\sum_{\substack{1\le k\le n\cr gcd(k,n)=1}}}$
Se puede demostrar que $F$ $F^\star$ son Möbius transforma el uno del otro. Me pueden enviar los detalles si es necesario.
El uso de Möbius de la inversión de la fórmula, vemos que :
$$F^\star(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F\left(\frac nd\right)$$
donde $\mu$ es la función de Möbius. Recordemos que $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^r$ si $n$ es el producto de $r$ pares distintos de los números primos y $\mu(n)=0$ lo contrario.
Me gustaría demostrar que, siempre que $f$ es una función de paso, tenemos :
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\varphi(n)}F^\star(n)=\int_0^1f\tag{1}$$
donde $\varphi$ es de Euler totient función.
Si esto es cierto, entonces (1) también va a celebrar en el caso general (es decir : al $f$ es seccionalmente continua), ya que cada función continua a trozos en $[0,1]$ se puede aproximar uniformemente en el intervalo por el paso de las funciones.
