¿Por qué cociente módulos $M / \mathfrak{m}M$ residuos campos $A / \mathfrak{m}$ para anillos locales en lugar de anillos general?

Question

En la siguiente, vamos a "anillo" de ser un sinónimo de "anillo conmutativo con identidad". En el libro sobre Álgebra Conmutativa por Atiyah y MacDonald, que he leído:

Deje $A$ ser un anillo local, $\mathfrak{m}$, su máximo ideal, $k = A / \mathfrak{m}$ de sus residuos de campo. Deje $M$ ser un finitely generadas $A$-módulo. $M / \mathfrak{m}M$ es aniquilada por $\mathfrak{m}$, por lo tanto es, naturalmente, una $A/\mathfrak{m}$-módulo, es decir, un $k$-espacio vectorial, y como tal finito-dimensional.

La proposición 2.8: Vamos a $x_i$ $(1 \leq i \leq n)$ elementos de $M$ cuyas imágenes en $M / \mathfrak{m}M$ formulario de una base de este espacio vectorial. A continuación, el $x_i$ generar $M$.

En la prueba, el hecho de que $A$ es local no se utiliza explícitamente. Sospecho que esto tiene para no trivial anillo de $A$ y algunos máxima ideal $\mathfrak{m}$$A$. Sin embargo, yo podría pasar por alto algo.

Pregunta: ¿la Proposición 2.8 sostenga para no trivial anillo de $A$ con ideal maximal $\mathfrak{m}$? Si no, ¿por qué es importante para $A$ a ser local?

Answer 1

Si $A$ es un anillo (conmutativo con identidad), $I$ un ideal de a $A$, e $M$ un finitely generadas $A$-módulo, a continuación, $M/IM$ es un finitely generadas $(A/I)$-módulo. De hecho, si $m_1,\ldots,m_r$ generar $M$ $A$- módulo, entonces no hay imágenes en $M/IM$ generar como una $(A/I)$-módulo. Si $I$ está contenida en el Jacobson radical de $A$ (significado $I$ está contenida en cada ideal maximal de a $A$) y $m_1+IM,\ldots,m_r+IM$ generar $M/IM$ $(A/I)$- módulo, a continuación, $m_1,\ldots,m_r$ generar $M$ $A$- módulo (asumiendo $M$ es finitely genera como una $A$-módulo). Esta es una aplicación de una forma general de Nakayama, el lema, que también se utiliza para probar el caso especial donde $A$ es local y $I=\mathfrak{m}$ es el único ideal maximal (por $A$ local, sus Jacobson radical es el ideal maximal).

Es decir, vamos a $N$ $A$- submódulo de $M$ generado por $m_1,\ldots,m_r$. Luego tenemos la $I(M/N)=M/N$. De hecho, dado $m\in M$, por supuesto, tenemos $m+IM=\sum_{i=1}^ra_im_i$ algunos $a_i\in A$. Por lo tanto $m-\sum_{i=1}^ra_im_i\in IM$. Esto le da a la no-trivial de inclusión $M/N\subseteq I(M/N)$. Por Nakayama, no es $a\in A$ $a\equiv 1\pmod{I}$ tal que $a(M/N)=0$. Pero debido a que $I$ está contenido en el radical de Jacobson $A$, $a$ debe ser una unidad, y por lo tanto $M=N$.