He estado tratando de aprender algo de estabilidad teoría últimamente, y he estado leyendo "Geométrica de la Estabilidad de la Teoría" por Pillay. Hay un lema que los estados sin demostrar que estoy tratando de probar, pero estoy pegado. El lema dice que si $b\in acl(aA)$ $$R^{\infty}(tp(b/A))\leq R^\infty(tp(ab/A))=R^\infty(tp(a/A)).$$ Aquí es lo que quiero decir: desde $tp(ab/A)\models tp(a/A)$,$R^\infty(ab/A)\leq R^\infty(a/A)$. Por otro lado, desde la $b\in acl(aA)$, se deduce que el $tp(a/A)\models tp(ab/A)$, y por lo $R^\infty(a/A)\leq R^\infty(ab/A)$, esto se ocupa de la igualdad. Pero entonces, dado que la $tp(ab/A)\models tp(b/A)$, debemos tener $R^\infty(ab/A)\leq R^\infty(b/A)$, de modo que si la desigualdad fuera cierto, se tendría necesariamente igualdad en todo, lo cual me parece bastante improbable. Así que estoy bastante seguro de que hay algo mal con mi razonamiento, pero no estoy seguro exactamente lo que es.
Respuesta
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Esta pregunta se la hicieron hace más de un mes, pero voy a responder en caso de que usted todavía está interesado (o futuro de la persona).
Hay una tentación en su argumento (que también hice cuando pensé acerca de esto por primera vez): El hecho de que está intentando usar está en que para (parcial) de los tipos de $p(x)$ $q(x)$ en la misma tupla de variables $x$, $p\rightarrow q$ implica $R^\infty(p)\leq R^\infty(q)$.
Esto no si $p$ $q$ tienen diferentes variables. Como un simple ejemplo de los efectos de los cambios en las variables, vamos a $a$ ser un elemento de un conjunto infinito. Deje $\phi(x,y)$ ser la fórmula $x = a$ y deje $\psi(x)$ también $x = a$ que se pensó en un contexto con sólo $x$. A continuación,$\phi\rightarrow \psi$, pero $R^\infty(\psi) = 0$ (desde $\psi$ es algebraico), mientras que $R^\infty(\phi)>0$ (desde $\phi$ no lo está), es decir, $\phi$ recoge toda una línea en el plano, mientras que $\psi$ sólo recoge a un punto.
Para demostrar Pillay del lexema, trate de probar las dos siguientes declaraciones por inducción transfinita. Los supuestos son diseñados para permitirle salvar las diferencias en contextos variables.
Si $\Phi(x)$ $\Psi(x,y)$ son parciales, por $A$ tal que $\Phi(x)\rightarrow \exists y \Psi(x,y)$,$R^\infty(\Phi(x)) \leq R^\infty(\Psi(x,y))$. Aquí $\Psi$ puede ser una colección infinita de fórmulas, en cuyo caso $\exists y \Psi(x,y)$ significa "dar un cuantificador existencial en frente de todos finito conjunciones de las fórmulas de $\Psi$."
Deje $\theta(x,y)$ $\mathcal{L}(A)$- fórmula, y deje $\theta^*(x,y)$ ser la fórmula $\theta(x,y)\land \exists_1^nx\theta(x,y)$ donde $\exists_1^n$ expresa que `existe al menos $1$ y en la mayoría de las $n$". Si $\Phi(x,y)$ $\Psi(y)$ son parciales, por $A$ tal que $\Phi(x,y)\rightarrow \Psi(y)\cup\{\theta^*(x,y)\}$,$R^\infty(\Phi(x,y))\leq R^\infty(\Psi(y))$.
De la primera, se puede concluir que $R^\infty(\text{tp}(b/A))\leq R^\infty(\text{tp}(ab/A))$ $R^\infty(\text{tp}(a/A))\leq R^\infty(\text{tp}(ab/A))$ en general (sin usar algebraicity).
A partir de la segunda, dejando $\theta$ aislar $\text{tp}(b/Aa)$, se puede concluir que $R^\infty(\text{tp}(ab/A))\leq R^\infty(\text{tp}(a/A))$
