¿Existe algún teorema que garantice la existencia de una prueba que no use AC dado que hay una prueba que usa AC, al menos bajo algunas circunstancias? ¿Cuál es su nombre (si existe) y su forma más general?
Por supuesto, esto excluye los casos triviales, por ejemplo, una colección finita de conjuntos no vacíos.
Hay resultados importantes de este tipo, por ejemplo el Teorema de la Absolutidad de Shoenfield.
Entre otras cosas, demuestra que cualquier $\Pi_2^1$ La sentencia de la Aritmética de Peano que (con la traducción habitual) puede demostrarse en ZFC ya puede demostrarse en ZF. (Esto ya había sido demostrado mucho antes por Gödel. El resultado de Shoenfield es más fuerte). El $\Pi_2^1$ Las sentencias incluyen problemas abiertos muy conocidos, como la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann, $\text{P}=\text{NP}$ muchos más.
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