Máximo de primer de radical ideales bajo cociente mapas

Question

Deje $I$ a ser un ideal de un anillo (conmutativo con unidad) $R$ y deje $q:R\to R/I$ ser el cociente mapa. Entonces no es bien conocida la correspondencia entre ideales de $R$ contiene $I$ e ideales de $R/I.$

Deje $J$ a ser un ideal de a $R$ contiene $I$ y deje $J'$ la correspondiente ideales en el anillo cociente. Yo tenía que demostrar que $J$ es radical/prime/máxima iff $J'$ es radical/prime/máxima.

Mostrando $J$ es radical/prime/maximal si $J'$ era bastante simple directa de manipulación de elementos argumentos.

En el otro sentido, lo hice mediante el uso de $J'=J/I,$ el hecho de que los ideales son radicales/prime/máxima iff sus anillos cociente se reduce/dominios/campos y el segundo teorema de isomorfismo. Sin embargo, he intentado, sin éxito, encontrar una "directa" la prueba de que tal vez manipula los elementos del anillo en una manera similar a la otra dirección. Es allí una manera más directa la prueba? Estoy preguntando esto especialmente por el radical ideales, porque este es el Ejercicio 1.22 (página 7) en Fulton Curvas Algebraicas y él nunca ha mencionado la reducción de los anillos o nilradicals sin embargo, y no espera que lo conocen, porque él introdujo lo radical ideales eran.

Answer 1

Usted realmente ha probado que la parte difícil.

Si $J$ es maximal, luego por la correspondencia de los ideales que mencionas $J'$ tiene que ser máxima. Si no fuera, no sería un ideal $T'\supset J'$, lo que le dan un buen ideal $T\supset J$.

Ahora suponga $J$ primer y deje $a'b'\in J'$ donde $a',b'$ son las clases en $R/I$ algunos $a,b\in R$. Esto significa que no se $i_a,i_b\in I$ tal que $(a+i_a)(b+i_b)=ab+ai_b+bi_a+i_ai_b\in J+I=J$$I\subseteq J$. Por lo tanto $ab\in J$ y, digamos, $a\in J$. Por lo tanto $a'\in J'$, lo $J'$ es primo.

Por último, supongamos $J$ radical y deje $(a')^r\in J'$ para algunos $a\in R$, $r\in\Bbb N$. Luego hay algunos $i_a,i\in I$ de manera tal que, por un binomio de expansión y desde $I$ es un ideal, $(a+i_a)^r=a^r+i\in J+I=J$. Por lo tanto $a^r\in J$, lo $a\in J$. Por lo tanto, $a'\in J'$ $J'$ es radical.