encontrar este límite: $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}- \int_{0}^{\large {1/\sqrt k}}\dfrac{t^2}{1+t^2}dt\right)-2\sqrt{n}\right]$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, se puede comprobar que $$ \int_0^{1/\sqrt k} \frac{t^2}{1+t^2}\,dt=\int_0^{1/\sqrt k} 1-\frac{1}{1+t^2}\,dt=\frac{1}{\sqrt k}-\arctan\frac{1}{\sqrt k}, $$ así que usted puede reescribir su límite como $$ \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^n\left(\arctan\frac{1}{\sqrt k}\right)-2\sqrt n\right]. $$
Esto es al menos en algún lugar para empezar.
Además, hemos $\arctan x + \arctan y = \arctan\frac{x + y}{1 - xy}$. Esto proporciona alguna esperanza de ser capaz de simplificar la suma en el interior.
Además edit: No hay garantía de que esto será pan para trabajar, pero se parece más manejable.
