En los dos capítulos finales de Knuth del Surrealista Números, tanto en el mundo de la multiplicación y la infinita/infinitesimal se introducen los números. Las ideas básicas de estos dos sentido para mí, pero tengo dos problemas con la aritmética de $\frac{1}{2}\omega$ que me temo que puede revelar un profundo malentendido de mi parte.
1) la Multiplicación entre dos surrealista números de $xy$ crea: $$ \langle (X_Ly+xY_L-X_LY_L)\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_RY_R) | (X_Ly+xY_R-X_LY_R)\cup (X_Ry+xY_L-X_RY_L)\rangle $$ Más tarde, el valor de $\frac{1}{2}x$ es dada como: $$ \langle\frac{1}{2}X_L\cup(x-\frac{1}{2}X_R)|(x-\frac{1}{2}X_L)\cup\frac{1}{2}X_R\rangle $$ que sigue inmediatamente. Estoy tirado un poco, sin embargo, cuando se $\frac{1}{2}\omega$ se calcula: $$ \langle\{1,2,3,4,...\}|\{\omega-1,\omega-2,\omega-3,\omega-4,...\}\rangle $$ Desde $\frac{1}{2}\equiv\langle0|1\rangle$ $\omega\equiv\langle\{1,2,3,4,...\}|\emptyset\rangle$ parece que el componente izquierdo de su multiplicación se debe $$ \frac{1}{2}\{1,2,3,4,...\}\la copa\emptyset $$ $$ \{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,...\} $$ y que el derecho debe ser $$ \{\omega-\frac{1}{2},\omega-1,\omega\frac{3}{2},\omega-2,...\} $$ Es Knuth acaba de hacer el salto intuitivo que $\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,...\}\equiv\{1,2,3,4,...\}$ o me estoy perdiendo algo esencial acerca de la multiplicación de $\frac{1}{2}$ a través de un conjunto infinito? Sé que no es un gran salto, y estoy perfectamente bien con lo que es, pero sospecho que esto conduce a mi más fundamentales de la confusión acerca de:
2) Intuitivamente, parece evidente que la $\frac{1}{2}\omega+\frac{1}{2}\omega\equiv\omega$, pero, incluso cuando acepto la representación de $\frac{1}{2}\omega$ discutió anteriormente en 1), no acabo de ver cómo funciona. A mí me parece que surrealista, además de a $\frac{1}{2}\omega$ da: $$ \langle\{(1+\frac{1}{2}\omega),(2+\frac{1}{2}\omega),(3+\frac{1}{2}\omega),...\}|\{(\omega-1+\frac{1}{2}\omega),(\omega-2+\frac{1}{2}\omega),...\}\rangle $$ que creo que se reduce a: $$ \langle\{(1+\frac{1}{2}\omega),(2+\frac{1}{2}\omega),(3+\frac{1}{2}\omega),...\}|\{(\frac{3}{2}\omega-1),(\frac{3}{2}\omega-2),(\frac{3}{2}\omega-3),...\}\rangle $$ y yo no veo a todos como cualquiera de las que podría ser $\equiv\langle\{1,2,3,4,...\}|\emptyset\rangle$. Lo que me estoy perdiendo?
