¿Podemos tratar de $\psi^{c}$ $\psi$ como un campo independiente?

Question

Cuando derivamos la ecuación de Dirac de la Lagrangiana, $$ \mathcal{L}=\overline{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m\overline{\psi}\psi, $$ asumimos $\psi$ $\overline{\psi}=\psi^{*^{T}}\gamma^{0}$ son independientes. Así que cuando tomamos la derivada de la Lagrangiano con respecto a $\overline{\psi}$, obtenemos la ecuación de Dirac $$ 0=\partial_{\mu}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\overline{\psi}\right)}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\overline{\psi}}=\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi. $$

Ahora si queremos incluir un término con cargo conjugación, $\psi^{c}=-i\gamma^{2}\psi^{*}$, en el Lagrangiano (como $\Delta\mathcal{L}=\overline{\psi}\psi^{c}$), no esta $\psi^c$ dependen de la $\overline{\psi}$ o $\psi$? Por qué o por qué no?

Si $\psi^{c}$ depende de $\psi$, ¿por qué no la razón por la que $\overline{\psi}$ $\psi$ son independientes aplican para$\psi^{c}$$\psi$?

Si $\psi^{c}$ depende de $\overline{\psi}$, ¿cómo debemos tomar derivado de la $\Delta\mathcal{L}$ con respecto al $\overline{\psi}$?

Answer 1

El % de Dirac spinor $\psi$y su conjugado complejo $\psi^*$ no variables independientes, pero en algunos cálculos se puede tratar a ellos como tal.

Para la pregunta similar sobre un campo escalar complejo $\phi$ y su complejo conjugado $\phi^*$, véase por ejemplo este post Phys.SE.

Answer 2

Sí, cuando queremos obtener la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange ecuación, debemos tratar a $\psi$ $\psi^c$ independiente, sino $\overline{\psi}$ $\psi^c$ dependiente. La razón de esto es que podemos simplemente expresó $\psi^c$ en términos de $\overline{\psi}$ por $$ \psi^{c}=C\overline{\psi}^{T}, $$ donde $C=-i\gamma^{2}\gamma^{0}$ es el costo de la conjugación de la matriz. Por lo $\overline{\psi}$ $\psi^c$ son el mismo grado de libertad.

Para el derivado de la $\overline{\psi}\psi^{c}$ con respecto al $\overline{\psi}$, uno debe ser muy cuidadoso porque $\psi$ es anticommuting. Desde la derivada de Euler-Lagrange ecuación en realidad proviene de la variación de Lagrange, Se debe comenzar a partir de la variación \begin{eqnarray} \delta\left(\overline{\psi}\psi^{c}\right) & = & \delta\left(\overline{\psi}C\overline{\psi}^{T}\right)=\delta\left(\overline{\psi_{i}}C_{ij}\overline{\psi_{j}}\right)=\delta\left(\overline{\psi_{i}}\right)C_{ij}\overline{\psi_{j}}+\overline{\psi_{i}}C_{ij}\delta\overline{\psi_{j}}\\ & = & \delta\left(\overline{\psi_{i}}\right)C_{ij}\overline{\psi_{j}}-\delta\left(\overline{\psi_{j}}\right)C_{ij}\overline{\psi_{i}}, \end{eqnarray} donde puedo usar el anticommutation de los campos para obtener el signo menos para el último paso. Ahora note que $C^{T}=C^{+}=-C$. Así que el último plazo es \begin{equation} -\delta\left(\overline{\psi_{j}}\right)C_{ij}\overline{\psi_{i}}=\delta\left(\overline{\psi_{j}}\right)C_{ji}\overline{\psi_{i}}=\delta\left(\overline{\psi_{i}}\right)C_{ij}\overline{\psi_{j}}. \end{equation} y llegamos $\delta\left(\overline{\psi}\psi^{c}\right)=2\delta\left(\overline{\psi}\right)C\overline{\psi}^{T}.$ Por lo tanto, la ecuación de movimiento a partir de este plazo se \begin{equation} \frac{\partial}{\partial\overline{\psi}}\left(\overline{\psi}\psi^{c}\right)=2C\overline{\psi}^{T}=2\psi^{c}. \end{equation}