Sea la tarea o no – esto es muy delicado problema de verdad!
Es suficiente para considerar que un avión $E$ con puntos de $z=(x,y)$. Deje $|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$ denotar la norma euclídea.
(i) Reclamación: Para cada línea de $g\subset E$ hay una constante $\lambda_g$ tal que para todo $z$, $w\in g$ uno tiene
$$d(z,w)=\lambda_g\ |z-w|\ .$$
Prueba.Vamos
$$g:\quad t\mapsto z(t)=a + t\ u\ ,\qquad |u|=1$$
ser una parametrización de $g$ con euclidiana longitud de arco como parámetro y poner
$$d^*(s,t):=d\bigl(z(s),z(t)\bigr)\ .$$
Entonces por la propiedad básica de $d(\cdot,\cdot)$ tenemos para arbitrario $s$, $t\in{\mathbb R}$:
$$d^*(s,t)=d^*\bigl(s,s+(t-s)\bigr)=|t-s|d^*(s,s+1)$$
y del mismo modo
$$d^*(s,t)=d^*(t,s)=d^*\bigl(t,t+(s-t)\bigr)=|t-s|d^*(t,t+1)\ .$$
Para $t:=0$ las dos últimas ecuaciones implican $|s|d^*(s,s+1)=d^*(s,0)=|s|d^*(0,1)$. De ello se desprende que $d^*(s,s+1)=d^*(0,1)=:\lambda_g$ arbitrarias $s\in{\mathbb R}$, de donde
$$d\bigl(z(s),z(t)\bigr)=d^*(s,t)=\lambda_g |t-s|=\lambda_g\bigl|z(t)-z(s)\bigr|\ ,$$
como se reivindica.
(ii) Reclamación: El factor de escala $\lambda_g$ sólo depende de la dirección del vector $u=(\cos\phi,\sin\phi)$$g$. De hecho, existe una función continua $\lambda:\ S^1\to{\mathbb R}_{>0}$ tal que $\lambda_g= \lambda(\phi)$.
Prueba. Es suficiente como para considerar la siguiente situación: Supongamos $g_1$ ser la línea de $y=1$ $g_2$ ser la línea de $y=-1$, y deje $p_i:=\lambda_{g_i}$. Tenemos que mostrar que $p_1=p_2$. Considerar para la pequeña $\phi >0$ la línea de
$$ g_\phi:\quad t \mapsto t \ (\cos\phi,\sin\phi)\ .$$
La línea de $g_\phi$ tiene un cierto factor de escala $\lambda(\phi)$ y se intersecta $g_1$ en el punto de $b:=(\cot\phi, 1)$. Poner $(0,0)=:o$, $(0,1)=:a$. Luego tenemos el triángulo de la desigualdad de la $d$:
$$d(a,b)-d(o,a)\leq d(o,b)\leq d(o,a)+d(a,b)$$
o
$$p_1\cot\phi - d(o,a)\leq \lambda(\phi)\ {1\over\sin\phi}\leq d(o,a)+p_1\cot\phi\ .$$
Multiplicando por $\sin\phi>0$ obtenemos
$$p_1 \cos\phi -d(o,a)\sin\phi \leq\lambda(\phi)\leq p_1\cos\phi+d(o,a)\sin\phi\ ,$$
desde que llegamos a la conclusión de $\lim_{\phi\to 0+}\lambda(\phi)=p_1$. Por simetría (argumentando en el lado izquierdo) también tenemos $\lim_{\phi\to 0-}\lambda(\phi)=p_1$, por lo que, de hecho,$\lim_{\phi\to0}\lambda(\phi)=p_1$. Por medio de la simetría de nuevo se sigue que $p_2=p_1$. Desde las líneas $g_1$, $g_2$ no tenía nada especial acerca de ellos se desprende que cualquiera de las dos líneas paralelas tienen el mismo factor de escala $\ \bigl(=:\lambda(\phi)\bigr)$; en particular, el factor de escala de la $g_0\colon\ y=0$$\ =p_1$, lo que demuestra la continuidad de la función $\lambda(\cdot)$. En particular, esta función se apartó de$0$$\infty$.
(iii) Se sigue de (i) y (ii) que la métrica $d(\cdot,\cdot)$ es la traducción invariante. Ahora podemos definir la asociada a la norma por
$$\|z\|\ :=\ d(o,z)\ .$$
La identidad de $\|\alpha\ z\|=|\alpha|\ \|z\|$ es obvio, y
$$\|z+w\|=d(0,z+w)\leq d(o,z)+d(z,z+w)=d(o,z)+d(o,w)=\|z\|+\|w\|$$
demuestra que el triángulo de la desigualdad de la norma.
