En la definición de la característica de las clases para un vector complejo paquete de $E$ ober un espacio topológico $X$, consideramos que algunas de espacio $X_S$ y un mapa continuo $p: X \rightarrow X'$ tal que $E$ es el retroceso de algunos vector paquete de $F$ $X'$ $F$ divisiones como la suma de algunos de la línea de paquetes de $F_1,..., F_n$$X'$. Entonces, por alguna de poder formal de la serie de $f$ se considera $f(c_1(F_1))\cdot...\cdot f(c_1(F_n))$ y tira de nuevo el $X$ para obtener una característica de la clase. Mi pregunta es: ¿por Qué es esta construcción bien definido, es decir, ¿por qué no dependen de la elección de $X'$$p$?
Respuesta
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Una forma de expresar el "principio de separación" es la siguiente: vamos a $BU(n)$ ser la clasificación de espacio de $U(n)$, e $BT(n)$ ser la clasificación de espacio de la torus $T(n) = S^1 \times \dots \times S^1$. Hay una natural mapa de $BT(n) \to BU(n)$ proveniente de la incrustación $T(n) \to U(n)$. En el nivel de functors representado, esto corresponde a la construcción de la cual se envía a $n$ línea de paquetes ($BT(n)$ clasifica un $n$-tupla de la línea de paquetes) a su suma directa de ($BU(n)$ clasifica $n$-dimensiones del vector de paquetes). Ahora, una característica de la clase vector complejo haces es la misma cosa como un elemento de $H^*(BU(n))$, mientras que un "carácter de clase" de la línea de paquetes es un elemento en el $H^*(BT(n))$. Una forma de expresar el principio de separación es que la inducida por el mapa $$H^*(BU(n)) \to H^*(BT(n))$$ is injective with image the symmetric polynomials in the canonical generators $x_1, \dots, x_n \H^*(BT(n))$. (The elementary symmetric polynomials correspond to the Chern classes.) So, if you want to construct a characteristic class on complex vector bundles (which will be a polynomial in the Chern classes), then you might as well pretend that your vector bundle splits as a sum of line bundles (i.e., admits a reduction to a $T(n)$-bundle) y, a continuación, sólo asegúrese de que la construcción es simétrica en la línea de paquetes involucrados.
En general, hay una construcción que trabaja para compactos conectado Mentira grupos y máxima tori, al menos para cohomology con $\mathbb{Q}$-de los coeficientes. Es decir, si $G$ es un compacto de Lie del grupo, entonces, el uso de Chern-Weil teoría, uno tiene un mapa de $(\mathrm{Sym} \mathfrak{g}^*)^G$ $H^*(BG; \mathbb{R})$(es decir, a un invariante del polinomio en la Mentira de álgebra podemos asociar una característica de la clase para $G$-paquetes), y este será un isomorfismo. Si $T \subset G$ es la máxima toro con el grupo de Weyl $W$ y la Mentira álgebra $\mathfrak{h}$, entonces tenemos una restricción de isomorfismo $$(\mathrm{Sym} \mathfrak{g}^*)^G \to (\mathrm{Sym} \mathfrak{h}^* )^W $$ (por el teorema de Chevalley), lo que implica que la inducida por el mapa $$ H^*(BG; \mathbb{R}) \to H^*(BT, \mathbb{R})^W$$ es un isomorfismo. El analógica del principio de separación es así que, si desea definir una característica de la clase principal $G$-paquetes (en real cohomology), a continuación, sólo tiene que definir uno para la máxima toro, siempre que es invariante bajo el grupo de Weyl.
Otro resultado relevante aquí es la de Atiyah-Segal finalización teorema, que identifica la $K$-teoría de la $BG$ como el completado la representación anillo de $G$ (esto porque, módulo de torsión, K-teoría es esencialmente el mismo que incluso dimensiones cohomology).
