Edit: Desde la pregunta 1 fue muy bien respondido por los JDH, lo voy a dejar en la más simple y la más tontas ejemplo que vino a mi mente — más sustancia (espero), es en la segunda parte de la respuesta:
En una multitud innumerable, tanto en la topología discreta y la cocountable topología la topología consiste en el conjunto vacío y los conjuntos contables complemento), la única secuencias convergentes son el tiempo constante. Desde que el conjunto no está contables, las topologías son diferentes (numerables de conjuntos abiertos en la topología discreta mientras que ellos no están en la cocountable topología).
Como para la pregunta 2, el documento en cuestión es:
J. Schur, Über lineare Transformationen en der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik (el Diario de Crelle), 151 (1921), 79-111 (el texto completo está detrás de un pago de la pared).
En términos modernos, Schur comienza por la identificación de $\ell^1$ como el espacio dual de $c$, el espacio de secuencias convergentes a través de la vinculación $\langle \mathbf{a},\mathbf{x}\rangle_{\ell^1, c} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n$:
![Hilfssatz von Schur]()
Auxiliar Teorema. Para una real o compleja secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suma
$$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots$$
converge para cada secuencia convergente $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ si y sólo si la serie
$$a_1 + a_2 + \cdots$$
converge absolutamente.
La prueba es una consecuencia inmediata de Abel resumen del criterio.
Considere la posibilidad de una secuencia $(\mathbf{a}_{n})_{n =1}^{\infty} \subset \ell^{1}$ donde $\mathbf{a}_{n} = (a_{n1}, a_{n2}, \ldots)$.
Deje $c$ ser el espacio de secuencias convergentes. Tenga en cuenta que para cada secuencia $(\mathbf{a}_n)_{n=1}^{\infty}$, obtenemos un lineal mapa de $A: c \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dada por
$$A\mathbf{x} = (\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{x}\rangle, \langle \mathbf{a}_2,\mathbf{x}\rangle, \ldots).$$
Schur, que busca determinar las condiciones necesarias y suficientes para garantizar que el $A$ define lineal mapa de $c \to c$ (que él llama como los mapas de convergencia-preservación: mapa de secuencias convergentes a secuencias convergentes).
Las condiciones necesarias y suficientes son (parte I de la Hauptsatz en la página 82):
La secuencia de $(\mathbf{a}_{n})_{n=1}^{\infty}$ define lineal mapa de $A: c \to c$ si y sólo si
- Para cada $k$ el límite de $a_{k} = \lim\limits_{n\to\infty} a_{nk}$ existe.
- Poner $\sigma_{n} = \sum_{k=1}^\infty a_{nk}$ $\sigma_n$ converge a algunos $\sigma \in \mathbb{R}$.
- Existe aconstant $C$ tal que para todos los $n$ tenemos $\|\mathbf{a}_{n}\|_1 \leq C$.
Por otra parte, si se cumplen estas condiciones, a continuación, $\mathbf{a} = (a_k)_{k=1}^{\infty} \in \ell^1$ y poner $a = \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ hemos
$$\lim_{n \to \infty} \langle \mathbf a_n, \mathbf x\rangle = (a-\sigma)\lim \mathbf{x} + \langle \mathbf a, \mathbf x\rangle,$$
en particular, $\mathbf a_n \to \mathbf a$ en los débiles$^{\ast}$-topología, si nos identificamos $\ell^1 = (c_{0})^\ast$.
La segunda pregunta Schur pregunta es: ¿cuándo una secuencia $(\mathbf{a}_n)_{n=1}^{\infty} \subset \ell^1$ inducir a un operador $\ell^{\infty} \to c$? La fórmula es nuevo
$A: \ell^{\infty} \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ $$A\mathbf{x} = (\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{x}\rangle, \langle \mathbf{a}_2,\mathbf{x}\rangle, \ldots)$$
para $\mathbf{x} \in \ell^{\infty}$ (él llama a este tipo de operadores de $A$ convergencia de generación). Desde $A$ como en el anterior induce, en particular, un operador $A: c \to c$, las anteriores condiciones deben ser satisfechas, por lo tanto la condición, sin duda debe ser más fuerte. De hecho, la parte III de la Hauptsatz en la página 82 se lee:
En la anterior notación $A$ define lineal mapa de $\ell^{\infty} \to c$ (en particular, la secuencia de $\mathbf a_n$ converge débilmente a $\mathbf a$) si y sólo si para cada a $\varepsilon > 0$ existe $l$ tal que $\sum_{k=l+1}^{\infty} |a_{nk}| \lt \varepsilon$.
En el transcurso de la prueba se establece que $\|\mathbf{a}_n - \mathbf{a}\|_{1} \;\xrightarrow{n\to\infty} \; 0$, lo que muestra que la debilidad de la convergencia implica la norma de la convergencia, como se desee. Para probar esto, se procede por la contradicción (véase el §4, p.89f). Uno fácilmente se reduce al caso de que $\mathbf{a} = 0$ y, en el supuesto de que $\|\mathbf a_{n}\|_{1} \not\to 0$, construye una secuencia delimitada $\mathbf{x}$ para que la secuencia de $A\mathbf{x} = (\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{x}\rangle, \langle \mathbf{a}_2,\mathbf{x}\rangle, \ldots)$ no es convergente, contradiciendo la debilidad de la convergencia.
Para la comodidad de los lectores, aquí está la Hauptsatz en su totalidad:
![Hauptsatz Schur]()
![Hauptsatz Schur]()
