Generalizando$f(n)=\int_0^\infty \frac{1}{e^{x^n}+1}=\left(2^{(n-1)/n}-1\right )\zeta(n^{-1})\Gamma(1+n^{-1})$

Question

He venido con la siguiente solución a esta integral, pero es sólo incompleta a mis normas$$f(n)=\int_0^\infty \frac{1}{e^{x^n}+1}=\left(1-2^{(n-1)/n}\right )\zeta(n^{-1})\Gamma(1+n^{-1})$ $

Parece que sólo funciona para$x\in\Bbb{N},x\gt 2$

Esta identidad, por lo tanto, no se aplica a$n=1$, y todos sabemos que$f(1)=\ln 2$ porque$\zeta(1)$ diverge.

Así que mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede generalizar la solución integral que he dado para encajar el caso$n=1$?

Answer 1

De hecho, la fórmula de se aplican si se realiza la limitación de procedimiento correctamente. Observe que

$$ 2^{(n-1)/n}-1\sim_{n\rightarrow 1}(n-1)\log(2)+\mathcal{S}(n-1)^2 $$

y

$$ -\zeta(n^{-1})\sim_{n\rightarrow 1} \frac{1}{n-1}+\mathcal{S}(1) $$

Por lo tanto, obtenemos

$$ -\zeta(n^{-1})(2^{(n-1)/n}-1)\sim_{n\rightarrow 1}\log(2)+\mathcal{S}(n-1) $$

que los rendimientos junto con $\Gamma(2)=1$ el resultado deseado!