Residuo de$f(z) = \frac{z-1}{1+\cos(\pi z)}$ at$z=2k+1$

Question

¿Cómo puedo calcular el residuo de:

ps

a $$f(z) = \frac{z-1}{1+\cos(\pi z)}$.

Answer 1

Establezca$w=z-(2k+1)$, luego en$z=2k+1$,$w=0$. $$ \begin{align} \frac{w+(2k+1)-1}{1-\cos(\pi w)} &=(w+(2k+1)-1)\frac1{\frac{\pi^2}{2}w^2+O\left(w^4\right)}\\ &=(w+2k)\frac1{w^2}\left(\frac2{\pi^2}+O\left(w^2\right)\right)\\ &=\frac{4k}{\pi^2}\frac1{w^2}+\frac2{\pi^2}\frac1w+O(1) \end {align} $$ Por lo tanto, el residuo en$w=0$, aka$z=2k+1$, es$\frac2{\pi^2}$.

Answer 2

Insinuación:
Los puntos$z_k=2k+1$ son polos de orden$2$ para$f(z) = \dfrac{z-1}{1+\cos(\pi z)}$ con residuos$$\operatorname{res}\limits_{z=z_k}{f(z)}=\lim\limits_{z\to{z_k}}\dfrac{d}{dz}{\left(\dfrac{(z-z_k)^2 (z-1)}{1+\cos{\pi z}}\right)} = \dfrac{2}{\pi^{2}}.$ $