¿Todo en el Power Set es mensurable?

Question

Im tomar una clase de posgrado de la probabilidad. Mi formación es en ingeniería (muy utilizado para matemáticas en un aplicados sentido). También estoy tomando un estudiante de la clase de análisis real a lo largo de lado (debe haber tomado antes, pero yo no podía) tengo un par de preguntas:

• Estamos gastando el tiempo mirando medibles funciones medibles sobre los conjuntos. La definición de un "conjunto medible" es uno que se encuentra en un sigma álgebra. Mi conceptual comprensión de un sigma álgebra I conocer la técnica def: contables de aditividad, etc.) es la resolución con lo cual entendemos que un espacio determinado - los conjuntos que pueden ser
  mide - incluso más sencilla: los conjuntos podemos utilizar realmente. Nosotros dicen que un sigma álgebra es el "dominio" de nuestra medida. En otras
  palabras, un (prob), la medida no puede medir cualquier conjunto arbitrario/conjuntos de conjunto. Definimos un sigma álgebra para manejar esto, y decir que nuestra medida opera a través de este sigma álgebra. Sin embargo, el juego de poder es en realidad un sigma álgebra (el más grande, de acuerdo a nuestra definición), y
  sin embargo, no todos los elementos del juego de poder es medible? Estoy teniendo un
  poco de dificultad para conciliar mi comprensión conceptual de un sigma
  álgebra (el comportarse de buena conjuntos medibles) con su actual def (que nos da el poder establecido dilema).

• ¿Cómo funciona el Borel Sigma Álgebra de encajar en esta comprensión conceptual?

• ¿No medibles?

• Hay un concepto de los más grandes sigma álgebra de sólo conjuntos medibles, que es un subconjunto del poder establecido?

Answer 1

Formalmente, la medida (resp. la probabilidad) teoría nos obliga a trabajar con un triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ donde $\Omega$ es el espacio en el que estamos trabajando, $\mathcal{F}$ $\sigma-$álgebra y $P$ es un (probabilidad) de la medida que elementos de mapas de $\mathcal{F}$ a los números (entre el$0$$1$). Llamamos a los elementos de $\mathcal{F}$ "$\mathcal{F}$ conjuntos medibles". Para cualquier no-trivial $\Omega$, tendrá muchas posibilidades de $\sigma-$álgebra de operadores que se pueden usar en el lugar de $\mathcal{F}$. Como usted dice, una opción es tomar el $\mathcal{F} = 2^\Omega$ (el juego de poder de $\Omega$), para ser nuestro $\sigma-$álgebra. El problema con esta opción es que cada subconjunto de $\Omega$ es en el juego de poder, todo lo que es medible aquí. ¿Por qué es eso un problema? Entre otras cosas, es a menudo demasiado grandes para $P$ a tienen buenas propiedades. En muchos (la mayoría, en serio) de los casos, la búsqueda de propiedades atractivas queremos $P$ es lo que realmente impulsa la probabilidad y no de los detalles de $\mathcal{F}$.

Stefan le da la norma no probabilística ejemplo de esto en los comentarios. La medida de Lebesgue, que es el natural de la noción de volumen en la línea real, no es compatible con el juego de poder como el $\sigma-$álgebra en nuestra triple, así que tenemos que escoger uno nuevo. La definición de la Borel $\sigma-$álgebra es que es el más pequeño $\sigma-$álgebra que contiene los intervalos abiertos (que mejor que ser medible si vamos a definir el volumen). Desde esta $\sigma-$álgebra es compatible con la idea intuitiva de volumen, por lo tanto, es el más pequeño de $\sigma-$álgebra podemos elegir con la propiedad de que $\mu\{(a,b)\} = b-a$ para todos los intervalos abiertos $(a,b)$. ¿Por qué no parar aquí? No todos los subconjuntos de Borel conjuntos de medida $0$ son medibles y que a menudo es bueno para el bien de la teoría a la que no tiene que preocuparse acerca de los conjuntos. El Lebesgue $\sigma-$álgebra es lo que pasa si usted insistir en que todos los subconjuntos de los conjuntos de medida cero son medibles. En este caso, como en muchos casos, debido a que esta $\sigma-$álgebra es tan natural que a menudo nos soltar el formalismo y solo decir que un conjunto es "medible" o "no cuantificables" en la línea real, cuando lo que realmente quieren decir es que es medible con respecto a la de Lebesgue $\sigma-$álgebra o no medibles con respecto a la de Lebesgue $\sigma-$álgebra. Creo que el último número es el origen de la confusión. Lo que estaban leyendo caído que se estaban refiriendo a la Lebesgue $\sigma-$álgebra.

No es demasiado difícil y no demasiado trivial para la construcción de un conjunto que es Lebesgue medible pero no Borel medible. En general, la mayoría de las series se puede escribir va a terminar siendo Borel. Por el contrario, la construcción de conjuntos que no son Lebesgue medibles requiere el uso de algo como el axioma de elección. A los analistas les gusta decir que si usted puede escribir explícitamente, es Lebesgue medible.

Permítanme hacer un breve comentario acerca de por qué probabilists como el uso de la Borel $\sigma-$álgebra en lugar de la Lebesgue $\sigma-$álgebra. Para el analista, la definición de una función medible es que la imagen inversa de abrir conjuntos medibles. Desde probabilists no requieren nuestros espacios para tener topologías, esto realmente no funciona para nosotros. Para un probabilist, la definición de una función medible es que la imagen inversa de un conjunto medible es medible. El Borel $\sigma-$álgebra tiene la propiedad de que si se componen de dos Borel medible funciones, se obtiene otra Borel medible en función de la definición. Esta propiedad no mal para Lebesgue medibles funciones con los analistas de la definición de medibles.

Answer 2

Animo a la lectura de Francis Edward Su papel de "El Banach-Tarski Paradoja" para una buena introducción a la innumerable conjuntos. Puedo pedir prestado de este documento las siguientes grandes golpes de ejemplo.

Es posible partición de la unidad de círculo en un countably número infinito de conjuntos tales que a) cada clase de equivalencia es congruente a los demás por algunos de rotación de $x\cdot\pi$ radianes racional,$x$, y B) no hay dos puntos en la misma clase de equivalencia se puede girar en cada uno de los otros por dicha rotación. Suponiendo un countably aditivo medida en nuestras clases de equivalencia, queremos decir que el total de la medida de este set (llamar al conjunto de $X$ y el total de la medida de sus miembros $\mu(X)$), es decir, 1.

Pero, por supuesto, podemos partición más en $X',X''$, de forma que ambos son contables y $\mu(X')+\mu(X'')=1$. Pero tenga en cuenta que desde $X$ $X''$ son tanto contables podemos establecer un isomorfismo $f:X''\to X$, e $x\in X''$ siempre puede ser girado en $f(x)$; lo mismo con $X'$. Si nuestra medida es la rotación de todos los idiomas, a continuación,$\mu(X)=\mu(X')=\mu(X'')=1$, lo cual es claramente imposible. Lo que esto demuestra es que no podemos producir un countably aditivo, de la rotación-invariante de la medida sobre el círculo unidad, si queremos extender esa medida para cada subconjunto. La Vitali sets utilizados en este ejemplo, deben ser excluidos de los conjuntos tratamos de definir una medida más.