Muestre que si$\vert G\vert = pq$, entonces$G$ es abelian o$Z(G) = \{ e\}$.

Question

El centro de un grupo de $G$ se define como $Z(G):=\{ z\in G : gz = zg, \; \forall g \in G\}$.

El objetivo es mostrar que si $\vert G\vert = pq$ donde $p$ $q$ no son necesariamente distintos de los números primos, a continuación, cualquiera de las $G$ es abelian o $Z(G) = \{ e\}$.

Quiero suponer que $Z(G) \neq \{ e\}$ y, a continuación, utilice el hecho de que $G/Z(G)$ es cíclico que implica que $G$ es abelian, que es algo que ya he probado. Pero, ¿cómo puedo demostrar que $G/Z(G)$ es cíclica, es decir cuando no estoy seguro de qué es exactamente $Z(G)$ parece. Sólo sé que al menos uno de no-identidad elemento en el mismo, que será de orden $p$ WLOG, (en el caso de que se de la orden de $pq$ es trivial).

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: asumir$Z(G) \neq \{1\}$. A continuación, mire$|G:Z(G)| \in \{1,p,q\}$

Answer 2

Ya se supone que$Z(G)\neq 1$. Entonces el orden del grupo cociente$G/Z(G)$ es uno de 1, p, q.

Puedes seguir esta pregunta para ver que todo el grupo de primer orden es cíclico. Por lo tanto, el grupo$G/Z(G)$ es un grupo cíclico.