¿Cuál es el más simple de la elipse que pasa a través de exactamente 13 de celosía puntos?

Question

La elipse $-30 x + 3 x^2 - 10 y - 3 x y + 4 y^2$ pasa a través de exactamente 11 de celosía puntos.

Otro ejemplo de la elipse es $4 - 30 x + 2 x^2 - 5 y - x y + 3 y^2$. ¿Cuál es el más simple de la elipse que pasa a través de exactamente 13 de celosía puntos?

1. Aquí son simples puntos suspensivos que ir a través de exactamente
2. 5 entramado de puntos a través de 12 celosía puntos.
3. ¿Qué es una elipse de 13 puntos? (Las respuestas añadido)
4. ---
5. $x + 4 x^2 - 8 y + 5 x y + 4 y^2$
6. $-1 + x^2 - x y + y^2$
7. $-3 - 13 x + 2 x^2 + x y + 3 y^2$
8. $-2 - 3 x + x^2 - 2 x y + 2 y^2$
9. $-7 x + x^2 - x y + y^2$
10. $-9 x + x^2 + 2 y^2$
11. $4 - 30 x + 2 x^2 - 5 y - x y + 3 y^2$
12. $-1 - 6 x + x^2 - x y + y^2$
13. $−9 x^2−11 x y−13 x−4 y^2+17 y−4$
14. $5 x−10 x^2−6 y−15 x y−6 y^2$
15. $12+12 x−9 x^2+11 y+5 x y−y^2$
16. $−10x^2−20 x y−20 x−11 y^2+11 y$
17. ???

Hay un Shinzel círculo que pasa a través de exactamente 13 puntos, pero es muy probable que no una solución mínima. Para los círculos, aquí están los más conocidos de los tamaños para los más pequeños de la Celosía Círculos que pasan por un determinado número de puntos. No tengo una respuesta para 13 puntos aquí.

Answer 1

Voy a mostrar imágenes de primera (explicación - después):

Y un par de elipses con 36, 48 celosía puntos:

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Vamos a considerar los puntos suspensivos con formato $a_{11} x^2 + a_{12} xy + a_{22} y^2 + a_{13}x +a_{23} y + a_{33} = 0$, donde
1) $0 < a_{11} \le a_{22}$ (de lo contrario podemos hacer intercambio $x' = y$, $y'=x$);
2) $a_{12} \le 0$ (de lo contrario se puede sustituir $y' = -y$).

Vamos a denotar:
$a$ $-$ semi-eje mayor;
$b$ $-$ semi-eje menor;
$S$ $-$ cuadrado (área);
$M = \max \{ |a_{11}|, |a_{12}|,|a_{22}|,|a_{13}|,|a_{23}|,|a_{33}| \}$;
$\Sigma = |a_{11}|+|a_{12}| + |a_{22}| + |a_{13}| + |a_{23}| + |a_{33}|$.

Veo 2 (o más) tipos de "pequeñez":
A. por el semi-eje mayor ($a$);
B. por plaza ($S$);
(C). (por max coeficiente);
(D). (por suma de los coeficientes).

A. Prioridades para minimizar: $a \rightarrow S \rightarrow M \rightarrow \Sigma \rightarrow |a_{13}|+|a_{23}| \rightarrow \max\{|a_{13}|,|a_{23}|\} \rightarrow (a_{13} \le 0)$ ;

B. Prioridades para minimizar: $S \rightarrow a \rightarrow M \rightarrow \Sigma \rightarrow |a_{13}|+|a_{23}| \rightarrow \max\{|a_{13}|,|a_{23}|\} \rightarrow (a_{13} \le 0)$;

Por ejemplo, si vamos a tener una gran cantidad de elipses con el mismo $a$$S$, entonces vamos a elegir la elipse(s) con menor $M$. Si hay un par de elipses con el mismo $a$, $S$, $M$, $\Sigma$, a continuación, vamos a elegir la elipse(s) con la suma más pequeña $|a_{13}|+|a_{23}|$. ... mientras nos pondremos 1 elipse.

Cómo calcular el $a, S$, si sabemos elipse fórmula?
Vamos a denotar $$ I_1 = 2a_{11}+ 2a_{22} > 0, $$ $$ I_2 = \left| \begin{array}{cc} 2a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & 2a_{22} \end{array} \right| = 4a_{11}a_{22}-a_{12}^2 > 0, $$ $$ I_3 = - \left| \begin{array}{ccc} 2a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & 2a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & 2a_{33} \end{array} \right| > 0; $$ entonces podemos reescribir de la elipse de ecuación: $$ a_{11} x^2 + a_{12} xy + a_{22} y^2 = \frac{I_3}{I_2}; $$ deje $\lambda_a, \lambda_b$ son raíces de la ecuación $$ \left| \begin{array}{cc} 2a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{12} & 2a_{22}-\lambda \end{array} \right| = \lambda^2 - I_1 \lambda + I_2 = 0, $$ así,
$\lambda_a = (a_{11}+a_{22})+\sqrt{(a_{22}-a_{11})^2+a_{12}^2}$,
$\lambda_b = (a_{11}+a_{22})-\sqrt{(a_{22}-a_{11})^2+a_{12}^2}$,
entonces
$\displaystyle a = \frac{\sqrt{I_3 \lambda_a}}{I_2}$, $\displaystyle b = \frac{\sqrt{I_3 \lambda_b}}{I_2}$, $\displaystyle S = \pi a b = \pi \frac{I_3}{I_2 \sqrt{I_2}}$.

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Aquí está la tabla de los más pequeños (por $a$ o $S$) elipses con $n$ celosía puntos (a a $n=25$).

\begin{array}{|l|l|l|r|r|} \hline \mathrm{Lattice} & \mathrm{equation} & \min a / & a & S \\ \mathrm{points} & & \min S & & \\ \hline 3 & x^2 +xy + y^2 -x-y=0 & S & 0.81649658 & 1.20919958 \\ \hline 4 & x^2 + y^2 -x-y=0 & a, S & 0.70710678 & 1.57079633 \\ \hline 5 & 2x^2 -xy + 2y^2 -x+y-3=0 & a, S & 1.46059349 & 5.19139671 \\ \hline 6 & x^2 -xy + y^2 -1=0 & a, S & 1.41421356 & 3.62759873 \\ \hline 7 & 2x^2 -xy + 2y^2 -5x-4y-6=0 & a & 2.92118697 & 20.76558682 \\ & 2x^2 -xy + 4y^2 -7x-7y-7=0 & S & 3.09818451 & 20.38568713 \\ \hline 8 & x^2+y^2-x-y-2=0 & a, S & 1.58113883 & 7.85398163 \\ \hline 9 & x^2-xy+3y^2-7x-6y=0 & a, S & 4.81580610 & 38.75014739 \\ \hline 10 & x^2-xy+4y^2-5x-5y-6=0 & a, S & 4.17287179 & 25.95698353 \\ \hline 11 & 3x^2-3xy+4y^2-21x-21y-10=0 & a, S & 8.00878321 & 123.82952163 \\ \hline 12 & x^2+y^2-5x-5y=0 & a & 3.53553391 & 39.26990817 \\ & x^2-xy+y^2-2x-2y-3=0 & S & 3.74165739 & 25.39319110 \\ \hline 13 & 2x^2-xy+3y^2-31x-26y-25=0 & a, S & 11.67004201 & 319.90071698 \\ \hline 14 & x^2-xy+4y^2-12x-9y-13=0 & a, S & 8.34574359 & 103.82793410 \\ \hline 15 & 2x^2-xy+5y^2-39x-36y-41=0 & a, S & 13.28106447 & 340.53118449 \\ \hline 16 & x^2+y^2-7x-7y-8=0 & a, S & 5.70087713 & 102.10176124 \\ \hline 17 & 2x^2-xy+3y^2-51x-51y-54=0 & a, S & 20.21310568 & 959.70215095 \\ \hline 18 & x^2-xy+y^2-7x-7y=0 & a, S & 9.89949494 & 177.75233769 \\ \hline 19 & 2x^2-xy+3y^2-61x-61y-6=0 & a, S & 23.34008401 & 1279.60286793 \\ \hline 20 & 2x^2-xy+2y^2-27x-27y-29=0 & a & 13.46600658 & 441.26871995 \\ & x^2+5y^2-31x-25y-12=0 & S & 16.83745824 & 398.30699525 \\ \hline 21 & 2x^2-xy+5y^2-81x-81y-8=0 & a, S & 26.56212894 & 1362.12473794 \\ \hline 22 & 4x^2-2xy+9y^2-194x-179y-30=0 & a & 31.84451541 & 2050.29169319 \\ & x^2-xy+10y^2-73x-61y-24=0 & S & 40.56562661 & 1609.78378121 \\ \hline 23 & 2x^2-xy+3y^2-105x-105y-54=0 & a & 40.42621136 & 3838.80860378 \\ & 3x^2-3xy+4y^2-120x-121y-3=0 & S & 44.04830766 & 3745.84302935 \\ \hline 24 & x^2+y^2-17x-17y-18=0 & a & 12.74754878 & 510.50880621 \\ & x^2-xy+y^2-9x-9y-10=0 & S & 13.49073756 & 330.11148429 \\ \hline 25 & 3x^2-xy+8y^2-279x-271y-84=0 & a, S & 57.49719096 & 6287.89822644 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}

Answer 2

Después de jugar un poco de todo con mathematica (muy simple fuerza bruta script) he encontrado

$-9 x^2-11 x y-13 x-4 y^2+17 y-4 = 0$

para ser una elipse con 13 celosía puntos. Para ver el número de celosía puntos he usado este:

Count[Flatten[
  Table[-9 x^2-11 x y-13 x-4 y^2+17 y-4 == 0, {x, -27, 
    3}, {y, -3, 40}]], True]

Que devuelve 13 en este caso. Tomé el mínimo y máximo de los valores para x e y de la imagen:

(Admito que es un poco más grande que sus ejemplos de 12 :-) )

Están realmente interesados en el área más pequeña ahora o el más pequeño de los coeficientes? Si quieres puedo investigar un poco más y ver qué puedo hacer...

Para el bruteforcer acabo de tomar esta fórmula, la mirada de los x-región de la elipse y de la prueba de los puntos a ser números enteros.. el código es REALMENTE feo así que no voy a poner aquí, pero la idea es simple.

Editar: Aquí está uno con 14:

$5 x - 10 x^2 - 6 y - 15 x y - 6 y^2 = 0$

Aquí está uno con 15:

$12 + 12 x - 9 x^2 + 11 y + 5 x y - y^2 = 0$

Aquí 16:

$-10 x^2-20 x y-20 x-11 y^2+11 y = 0$

Para los más grandes instancias porté de la fuente a la C porque es más rápido. Yo creo que en un par de horas se puede probar todos los coeficientes también por el alto número de celosía puntos. Aquí está la fuente si quieres darle una oportunidad: http://pastebin.com/R3hLbWVA (sentía que iba a soplar esta respuesta si se me pega). No se pudo encontrar uno de 17, sin embargo, usted puede utilizar el programa para generar todas las fórmulas para que los pequeños coeficientes aunque (a ver si es posible). También numérica, pueden producirse errores por lo tanto me verificar los resultados con mathematica.

Voy a dejar de mirar por ahora, sólo para el disfrute aquí está uno con 36 entramado de puntos (que parece ser mucho más fácil de encontrar con una cantidad de celosía puntos):

$-10 x^2+14 x y+20 x-5 y^2+15 y=0$

Imagen(feo):

También la fuente para generar las imágenes:

ContourPlot[
 20 x - 10 x^2 + 15 y + 14 x y - 5 y^2 == 0, {x, -3, 206}, {y, -3, 
  300}, GridLines -> {Range[-3, 206], Range[-3, 300]}]