Utilice el teorema del valor medio para encontrar $f(\xi)+f''(\xi)=0$

Question

Pregunta: $f\in C^2(-\infty,+\infty)$ , $|f(x)|\leq 1$ , $[f(0)]^2+[f'(0)]^2=4$ . Demostrar que existe $\xi$ s.t. $$ f(\xi)+f''(\xi)=0. $$

Encuentro esta pregunta en el capítulo sobre el teorema del valor medio, y establezco la función $G=f^2+f'^2$ como siempre. Conjunto de WLOGs $f(0)\geq 0$ y $f'(0)\geq 0$ . Utilizando el teorema del valor medio de Taylor obtengo $$ f(1)=f(0)+ f'(0)+\frac{1}{2}f''(\eta). $$ Establecer $x=f(0)\geq 0$ Me sale $$ f''(\eta)\leq 1-x-\sqrt{4-x^2}\leq -1. $$ Así que tengo $$ f(\eta)+f''(\eta)\leq 0 $$ Quiero demostrar por contradicción entonces asumo $\forall x\in(-\infty,+\infty)$ , $f(x)+f''(x)<0$ . Entonces no tengo ni idea.

Mi pregunta es: ¿Es correcta esta idea? ¿Cómo utilizar la función $f^2+f'^2$ (Todavía no lo he usado)?

Answer 1

Dejemos que $G=f^2+f'^2\in C^1(-\infty,+\infty)$ . Si $f'(x)\geq 1$ para todos $x\geq 0$ entonces $$f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t) dt\geq f(0)+x\to +\infty$$ lo que contradice el hecho de que $|f(x)|\leq 1$ . Del mismo modo, no puede ser que $f'(x)\leq -1$ para todos $x\geq 0$ . Por lo tanto, existe $x_1>0$ tal que $|f'(x_1)|\leq 1$ lo que implica que $G(x_1)\leq 1+1=2$ . Del mismo modo, demostramos que existe $x_2<0$ tal que $|f'(x_2)|\leq 1$ y $G(x_2)\leq 2$ . Desde $G(0)=4$ por continuidad, existe $a,b\in \mathbb{R}$ tal que $$a:=\max \{x<0: G(x)=2\}\quad,\quad b:=\min \{x>0: G(x)=2\}.$$ Tenga en cuenta que $a<0<b$ , $G(a)=G(b)=2$ y $G(x)>2$ para $x\in (a,b)$ .

Por el MVT, hay $c\in (a,b)$ tal que $$G'(c)=2f'(c)(f(c)+f''(c))=0.$$ Si $f'(c)=0$ entonces $G(c)\leq 1$ lo que implica que hay $d\in (a,b)$ tal que $G(d)=2$ que es imposible. Por lo tanto, $f(c)+f''(c)=0$ .