¿Existe una forma cerrada para esta integral "florida"?

Question

Tengo curiosidad por las formas de este tipo:

Pienso en esto como la trayectoria de una partícula en la que la aceleración es perpendicular a la velocidad y oscila sinusoidalmente en el tiempo.

Las funciones que estoy investigando, en el caso genérico, son de la forma

$$f(x) = \int e^{ai(x + b\,sin\,x)}\ dx$$

La imagen anterior se genera con $a=0.75, b=-1$ .

Me interesa especialmente la relación de $a$ y $b$ en el caso concreto:

$$0 = \int_0^{2\pi} e^{ai(x + b\,sin\,x)}\ dx$$

Esto corresponde a formas como ésta, donde los "lóbulos" se tocan en el origen:

Esto se genera con $a=0.75, b \approx -0.7364$ .

Al tratar de averiguar $b = g(a)$ He probado mi método habitual de graficar valores aproximados de $b$ contra $a$ y comparándolo con algunas funciones comunes, pero no pude encontrar nada que coincidiera. También intenté introducir algunos valores de $b$ en WolframAlpha para ver si podía encontrar una forma cerrada, pero no hubo suerte.

1. ¿Existe una forma cerrada para el caso genérico?

2. ¿Cuál es la ecuación que relaciona $a$ y $b$ en el caso concreto, y ¿tiene una forma cerrada? Para mí, los números parecen sacados mágicamente de la nada, sin relación con ninguna constante conocida.

Answer 1

Tenga en cuenta que

\begin{align}\int_0^{2\pi}e^{aix}e^{bi\sin x}~\mathrm dx&=\frac1i\int_0^{2\pi}(e^{ix})^{a-1}e^{b((e^{ix})-1/(e^{ix}))/2}~\mathrm d(e^{ix})\\&=\frac1i\oint_{|z|=1}z^{a-1}e^{(b/2)(z-1/z)}~\mathrm dz\\&=2\pi J_{-a}(b)\end{align}

Así que todo se reduce a encontrar las raíces del Función de Bessel de primer tipo que se dan en Ceros de la función de Bessel para los enteros $a$ .