Utilizando una tabla de números Carmichael hasta $10^{16}$ Hay $34971$ pares $(c-2,c)$ donde $c$ es un número de Carmichael y $c-2$ es primo pero sólo $204$ pares $(c,c+2)$ con $c+2$ de primera.
¿Existe alguna razón teórica para esta sorprendente asimetría ( $99.42\%$ contra. $0.58\%$ )?
La cuestión del MSE ¿Por qué los Números de Carmichael son menos comunes con una progresión aritmética parece estar relacionado de alguna manera, pero no puedo ver una conexión directa.
Mirando los números de Carmichael hasta $10^8$ la lista está dominada por números que son $1 \bmod 3$ . Fuera de $ 255 $ números, $ 243 $ son $1\bmod 3$ - sobre $ 95\% $ y la tendencia es hacia una mayor proporción.
Esto es bastante natural, ya que para un determinado Carmichael $c$ necesitamos $c{-}1$ sea divisible por cada uno de sus totientes del factor primo, y entre todos estos componentes multiplicadores la probabilidad de que $3$ se incluye como uno de los multiplicadores es grande, ya que $3$ no suele ser un factor de $c$ sí mismo.
Un inciso: Los números de Carmichael divisibles por $3$ son poco comunes pero al menos uno de ellos - $656601$ - nos da una primicia en ambos $c{-}2$ y $c{+}2$ . ¿Trillizos? Mejor: $c{-}4$ también es un primo, ¡así que cuatrillizos!
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