Asimetría para los "gemelos" Carmichael

Question

Utilizando una tabla de números Carmichael hasta $10^{16}$ Hay $34971$ pares $(c-2,c)$ donde $c$ es un número de Carmichael y $c-2$ es primo pero sólo $204$ pares $(c,c+2)$ con $c+2$ de primera.

¿Existe alguna razón teórica para esta sorprendente asimetría ( $99.42\%$ contra. $0.58\%$ )?

La cuestión del MSE ¿Por qué los Números de Carmichael son menos comunes con una progresión aritmética parece estar relacionado de alguna manera, pero no puedo ver una conexión directa.

Answer 1

Mirando los números de Carmichael hasta $10^8$ la lista está dominada por números que son $1 \bmod 3$ . Fuera de $255$ números, $243$ son $1\bmod 3$ - sobre $95\%$ y la tendencia es hacia una mayor proporción.

Esto es bastante natural, ya que para un determinado Carmichael $c$ necesitamos $c{-}1$ sea divisible por cada uno de sus totientes del factor primo, y entre todos estos componentes multiplicadores la probabilidad de que $3$ se incluye como uno de los multiplicadores es grande, ya que $3$ no suele ser un factor de $c$ sí mismo.

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Un inciso: Los números de Carmichael divisibles por $3$ son poco comunes pero al menos uno de ellos - $656601$ - nos da una primicia en ambos $c{-}2$ y $c{+}2$ . ¿Trillizos? Mejor: $c{-}4$ también es un primo, ¡así que cuatrillizos!