Intentar generalizar primero significa valor Teorema de integrales

Question

1.

Supongamos que $f(x)$ (de Riemann) integrable en $[a,b]$ $F^{'}(x)=f(x)$ todos los $x\in[a,b]$,entonces no es un número $\color{red}{\xi\in(a,b)}$ tal que $$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

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2.

Yo generalizar la instrucción anterior que es verdad para la siguiente versión:

Supongamos que $f(x)$ $g(x)$ (de Riemann)integrable en $[a,b]$ $g(x)\geq 0$ todos los $x\in[a,b]$ $F$es una primitiva de la función de $f$$[a,b]$, entonces no es un número $\color{red}{\xi\in(a,b)}$ tal que $$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx$$

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3.

Necesito la prueba de la generalización es ture,o dar algunos contraejemplos para desacreditarla .

A partir de la Primera media teorema del valor de las integrales definidas,tenemos $$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu\int_{a}^{b}g(x)dx,\quad \inf_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\leq \mu\leq \sup_{x\in[a,b]}\{f(x)\}.$$ Si $$\inf_{x\in[a,b]}\{f(x)\}< \mu <\sup_{x\in[a,b]}\{f(x)\},$$ Darboux's theorem tells us there is a $\xi\in(a,b)$ such that $f(\xi)=\mu.$

Si $$\mu=\inf_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\quad \text{or}\quad \mu=\sup_{x\in[a,b]}\{f(x)\},$$

también hay un $\xi\in(a,b)$ tal que $f(\xi)=\mu ?$

Answer 1

En 3. estamos dado que el $f$ $g$ son Riemann integrables en $[a,b]$ $g(x) \geqslant 0$ todos los $x \in [a,b]$. También nos da ese $f$ tiene una primitiva $F$ lo que implica que $f(x) = F'(x)$ todos los $x \in [a,b]$.

La prueba de la media del teorema del valor de las integrales es, por supuesto, sencillo bajo la condición más fuerte que $f$ es continua. También es cierto con esta más débil condición de que $f$ es un derivado. Primero vamos a probar esto con cuidado, y luego considerar su pregunta final, donde en un caso $\mu = \inf f(x)$.

Desde $f$ es Riemann integrable, es limitada y no existen finito de números de $m = \inf_{x \in [a,b]}\, f(x)$$M = \sup_{x \in [a,b]}\, f(x)$. Desde $mg(x) \leqslant f(x)g(x) \leqslant Mg(x)$ todos los $x \in [a,b]$ hemos

$$m\int_a^b g(x) \, dx \leqslant \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \leqslant M \int_a^b g(x) \, dx.$$

En el caso de que $\int_a^b g(x) \, dx = 0$ es fácil demostrar que podemos elegir cualquier $\xi \in (a,b)$ y el teorema sostiene.

De lo contrario, tome $\mu = \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx / \int_a^b g(x) \, dx$. Sabemos que $m \leqslant \mu \leqslant M$. Si $m < \mu < M$, por las propiedades de infimum y supremum existen $\alpha , \beta \in [a,b]$ tal que

$$m < f(\alpha) < \mu < f(\beta) < M.$$

Por el teorema de Darboux $f$ (un derivado) tiene el valor intermedio de la propiedad. Por lo tanto, no existe $\xi \in (\alpha,\beta) \subset [a,b]$ tal que $f(\xi) = \mu$ y hemos terminado.

Supongamos, sin embargo, que $\mu = m$. Desde $f(x) \geqslant m$$g(x) \geqslant 0$, tenemos

$$\int_a^b |f(x) - m| \, g(x) \, dx = \int_a^b (f(x) - m) \, g(x) \, dx = (\mu -m) \int_a^b g(x) \, dx = 0,$$

y de ello se sigue que $(f(x) - m) \, g(x) = 0$ en casi todas partes. Para este caso donde $\int_a^b g(x) \, dx > 0$ tenemos $g(x) > 0$ en casi todas partes y no debe ser un punto de $\xi \in (a,b)$ tal que $f(\xi) = m$.

En el caso de que $\mu = M$ es manejado en una manera similar.

Answer 2

El primer resultado es nada más que de Langrange Teorema del valor medio aplicado a derivado de la $F$ $f$. Para llegar a su generalización debemos suponer la existencia de anti-derivado de $fg$ y $g$ y aplicar el teorema de valor medio de Cauchy en $F$ y $G$ donde $F'=fg, G'=g$. No estoy seguro si lo sostiene sin la existencia de los derivados involucrado.