¿Es posible tener dos triángulos con lados iguales pero con diferentes ángulos?

Question

¿Puede haber dos triángulos, por ejemplo $ \triangle ABC $ y $ \triangle DEF$ para que la medida de sus lados es la misma pero sus ángulos son diferentes? Gracias.

Answer 1

Sí, si los triángulos no son necesariamente tanto Euclidiana. Esto puede no ser lo que significó, y las otras respuestas pueden responder a su pregunta de manera más apropiada, pero esta parece una buena oportunidad para señalar algunos de los más exóticos escenarios que pueden existir.

Una cosa que podemos hacer es tomar triángulos de diferentes geometrías. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo dibujado en una esfera siempre será mayor que $180$ grados. Así que usted podría dibujar un triángulo en un plano, otro en una esfera, hacer las longitudes de los lados de partido, y obtendrá de tamaños diferentes ángulos.

Tenga en cuenta que no es suficiente sólo con la escala de la métrica de un espacio Euclidiano. Es decir, si yo defino dos planos diferentes, donde la distancia es mayor en uno, pero ambos son planas, y me dibuja dos triángulos a juego con lado de longitud, los ángulos seguirá siendo el mismo. Lo importante del ejemplo del párrafo anterior es que hemos cambiado la curvatura del espacio.

Tal vez es la trampa para permitir que los dos triángulos para que provienen de diferentes geometrías. Así es en efecto posible dibujar dos triángulos con la coincidencia de la longitudes de los lados y ángulos diferentes, en la misma geometría. Usted puede hacer esto en el plano hiperbólico, permitiendo que los vértices en el límite del plano.

El límite del plano hiperbólico es como un círculo que es infinitamente lejos de cualquier punto en el espacio. Si pones dos vértices en esta frontera, luego escoja cualquier punto que se desee en el espacio para su tercer vértice, de cada lado del triángulo de longitud infinita. De modo que las longitudes de los lados no sería afectado por donde pongas el tercer vértice. También, los dos ángulos de los vértices en el límite de la realidad iba a ser $0$ grados, y la tercera podría ser cualquier número hasta e incluyendo la $180$ grados, dependiendo de donde usted lo pone! Esto no iba a funcionar en el espacio Euclidiano. También se puede hablar de un círculo límite de $\mathbb{R}^2$ infinitamente lejos, pero no, usted no puede dibujar una recta que conecta límite arbitrario de puntos y pasando a través del plano.

Hay un montón de Google-capaz de info que hay (y en Wikipedia) sobre el plano hiperbólico, si este concepto te interesa y quieres saber más!

Answer 2

No: dados tres lados de un triángulo, la regla del coseno determina los ángulos sin ambigüedades: %#% $ #% % $ $$ c^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos{\gamma}, $$$ \cos{\gamma} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}, $siendo uno de los ángulos, $\gamma$ es el lado opuesto a $c$ y $\gamma$ los otros dos lados. Coseno es uno de los ángulos entre $a,b$ y $0$ al intervalo real $\pi$ y uno puede comprobar que el lado derecho se encuentra estrictamente entre $(-1,1)$y $-1$ cuando $1$ forman un triángulo, por lo que uno tiene $a,b,c$ $

Answer 3

No, esto no es posible en geometría euclidiana normal. Dos triángulos son congruentes si todos los lados correspondientes son iguales pares, por lo que sus ángulos serán iguales también.

Answer 4

Tomar 3 palos, cada uno debe ser más corto que la suma de los otros 2 palos. Tratar de construir más de un triángulo, se puede? Jajaja Si usted toma 2 sticks y une sus extremos, entonces el tercer palo será la restricción para los otros extremos de los 2 palillos.