¿' t la improbabilidad de la hipótesis del continuo demostrar la hipótesis del continuo?

Question

La Hipótesis continua decir que no hay ningún conjunto de cardinalidad entre los reales y los números naturales. Al parecer, la Hipótesis continua no puede ser probada o refutada mediante el estándar de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Con el fin de desacreditarla, sólo tienes que construir un contraejemplo de un conjunto de cardinalidad entre los naturales y los reales. Se ha probado que el CH no puede ser refutada. Equivalentemente, se ha comprobado que uno no puede construir un contraejemplo para el CH. No demuestra esto?

Por supuesto, el problema es que también se ha demostrado que no puede ser comprobado. No sé los detalles de este unprovability prueba, pero, ¿cómo puede evitar una contradicción? Entiendo la idea de algo que es independiente de los axiomas, simplemente no veo cómo si no se puede probar ningún contraejemplo la hipótesis no es verdadera, ya que básicamente dice un contraejemplo no existe.

Estoy seguro de que estoy haciendo un horrible error lógico aquí, pero no estoy seguro de qué es.

Así que mi pregunta es esta: ¿cuál es el error en mi razonamiento? Es un error lógico, o un malentendido grueso de la unprovability la prueba en cuestión? O algo completamente distinto?

Answer 1

He aquí un ejemplo axiomático sistema:

1. Existen exactamente tres objetos de $A, B, C$.
2. Cada uno de estos objetos es un plátano, una fresa o una naranja.
3. Existe al menos una fresa.

Vamos el nombre del sistema de $X$.

Vicente del Continuo de Hipótesis (VCH): Cada objeto es un plátano o fresa (es decir, no hay naranjas).

Ahora, para refutar esta en $X$, usted tiene que demostrar que uno de $A, B, C$ es una naranja ("construir un contraejemplo"). Pero esto no siga de $X$, debido a que el siguiente modelo es consistente con $X$: a y B son los plátanos, C es una fresa.

Por otro lado, VCH no siga de$X$, debido a que el siguiente modelo es consistente con $X$: es un plátano, B es una fresa, C es una naranja.

Como se puede ver, no hay ninguna contradicción, porque usted tiene que tomar en cuenta los diferentes modelos de la axiomática del sistema.

Answer 2

Creo que el problema básico es en su afirmación de que "con el fin De desacreditarla, sólo tienes que construir un contraejemplo de un conjunto de cardinalidad entre los naturales y los reales." En realidad, para refutar CH mediante esta estrategia, se tendría que producir un contraejemplo y demostrar que en realidad tiene cardinalidad entre los de $\mathbb N$$\mathbb R$.

Así, desde el hecho de que CH no puede ser refutada en ZFC, no se puede inferir que no hay ningún contraejemplo, pero sólo que no hay ningún conjunto puede demostrar en ZFC a ser un contraejemplo.

Answer 3

¿Cómo podría usted demostrar que no todos los grupos son abelian? Es decir, ¿cómo podría usted demostrar que los axiomas de los grupos no implican $\forall x\forall y(xy=yx)$?

Bien. Usted encontrará un modelo de la teoría, es decir, un grupo, que no es abelian. Al mismo tiempo, usted también puede mostrar esto no es disprovable por encontrar un grupo abelian.

Así que, ¿significa eso que todos los grupos son abelian, porque el axioma $\forall x\forall y(xy=yx)$ es independiente de los axiomas de un grupo? No. No.

La independencia de la hipótesis continua de ZFC va a lo largo de las mismas líneas. Podemos mostrar que hay modelos de ZFC donde CH sostiene, y otros en los que se produce un error. Esto es independientemente de las técnicas que utilizamos, que son inteligentes y útiles para mucho más que en la teoría de conjuntos.

Answer 4

La situación es muy similar a la de la geometría no Euclidiana.

De los cuatro primeros postulados de Euclides, que no puede ni probar ni refutar la quinta (en paralelo) postulado. Esto ha sido probado sólo dos milenios después de Euclides escribió sus Elementos. Si usted asume que el quinto postulado es cierto, se obtiene la geometría Euclidiana; si se supone que es falsa, obtener elíptica o geometría hiperbólica. El terreno común a ambos es la geometría absoluta.

Del mismo modo, a partir de ZFC, usted no puede ni probar ni refutar la hipótesis continua. Si usted asume que es cierto, se obtiene un tipo de teoría de conjuntos; si se supone que es falsa, de conseguir otro. El terreno común a ambos es de ZFC.

Answer 5

CH: "no Hay ningún conjunto de cardinalidad entre los reales y los números naturales."

refutar CH: la demostración de un conjunto de

Usted no puede demostrar tal conjunto. Por lo tanto, no se puede refutar.

Para probar esto, usted tiene que demostrar que TODOS los conjuntos de cardinalidad:

1. inferior o igual a números naturales -o bien-
2. mayor o igual a los números reales

Usted no puede probarlo.

Por lo tanto, usted no puede ni probar ni refutar CH.

El problema básico es la suposición sin fundamento que puede demostrar algo simplemente mostrando que no se puede refutar. Tendrás que demostrar que uno de los primeros.

En realidad, la hipótesis continua mismo demuestra que no puede, en virtud de "usted no puede probarlo".