¿Cardinalidad de la topología de la orden?

Question

De interés: la cardinalidad de la topología euclidiana en la línea verdadera es $c$. En general, si $X$ es totalmente ordenado de cardinalidad $\alpha$, la topología del orden en $X$ debe tener cardinalidad $\geq\alpha$. ¿Cuándo es precisamente $\alpha$?

Answer 1

Se puede calcular.

¿Por qué es la topología en $\Bbb R$ tienen la misma cardinalidad como $\Bbb R$? Porque tenemos una base de tamaño de $\aleph_0$ y cada conjunto abierto es la unión de $\aleph_0$ open básica de conjuntos.

Así que si $(X,\leq)$ es un orden lineal, entonces su orden topología tiene el tamaño de $\leq\kappa$ si (y sólo si) existe una base de tamaño de $\mu$ de tal forma que cada conjunto abierto es la unión de más de $\lambda$ abierto básicos de conjuntos, y $\mu^\lambda\leq\kappa$.

Algunas observaciones:

1. $|X|\leq\mu^\lambda$.
2. Podemos suponer $\lambda\leq\mu$, ya que cualquier unión de más de $\mu$ elementos de un conjunto de tamaño $\mu$, es en realidad la misma unión de la en la mayoría de las $\mu$ elementos.

Así que si $|X|=\mu^\lambda$, entonces la topología es exactamente el que quería tamaño.