¿Cuántas secuencias de números racionales convergen a 1 hay?

Question

Tengo un problema con este ejercicio:

¿Cuántas secuencias de números racionales convergen a 1 hay?

Sé que el número de todas las secuencias de los números racionales es $\mathfrak{c}$. Pero aquí contamos secuencias convergentes a 1, por lo que el número total va a ser menos. Pero va a ser $\mathfrak{c}$ todavía, o tal vez $\aleph _0$?

Answer 1

El número de secuencia de los números racionales convergentes a $1$ no es contable. Supongamos que usted obtenga todos los squences por $(a_n^{(1)})_{n\in \mathbb{N}}, (a_n^{(2)})_{n\in \mathbb{N}}, (a_n^{(3)})_{n\in \mathbb{N}}, \dotsc$ Definir una secuencia $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ por $$b_{k}:=\begin{cases}1 & a_k^{(k)}\neq 1\\ 1+\frac{1}{n}& a_k^{(k)}= 1 \end{cases}$$ A continuación, $\lim_{n\to\infty}b_n=1$ pero $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}\neq (a_n^{(i)})_{n\in \mathbb{N}} $ todos los $i\in\mathbb{N}$.

Answer 2

Para cada número real $x$ definir $$a_n(x):= 1+ \frac{ \lfloor xn \rfloor}{n^2}$$

Demuestra que este es un uno-a-uno de la función de $\mathbb R$ para el conjunto de secuencias convergentes a $1$.

Answer 3

Creo que hay un continuum número de dichas secuencias. Para la facilidad de escribir, vamos a tratar de forma equivalente, contar el número de secuencias convergentes a $0$. La primera nota que hay countably muchos números racionales en el intervalo de $[-a,a]$. Ahora, para cada secuencia de consideraremos $x_i \in [\frac{-1}{i},\frac{1}{i}]$, por lo que cada secuencia de $x_i$'s va a converger a $0$. El número de secuencias es el equivalente al número de funciones de $\mathbb{N}$ a sí mismo, que se puede probar innumerables.

Answer 4

$q \pm \frac{1}n$ es una sucesión convergente a $q$ para cualquier secuencia de $\pm$ signos.

Que es un límite inferior de coincidencia el indicado límite superior. Esto resuelve el problema en el sentido de que el Schroeder Bernstein principio se aplica. Encontrar un determinado 1-1 correspondencia entre racional secuencias convergentes y 0-1 secuencias es más complicado.

Answer 5

Tenemos que no se repiten (inyectiva) secuencias de elementos en $\{\,1+1/n:n\in\mathbb{N}\,\}$ forman un continuo, y que todos ellos tienen un límite de $1$, por lo que nuestro conjunto es de al menos un continuum. Ya que también todos racional secuencias forman un continuo, nuestro conjunto es también en la mayoría de un continuum.