transformación de Laplace

Question

¿Cómo demostrar que la transformada de Laplace de $x^a$ es: $$\mathcal{L}\{x^a\}(s)=\frac{\Gamma(a+1)}{ s^{a+1}}$ $ también cómo probar que la inversa de la transformación de Laplace de $\frac{\Gamma(a+1)}{ s^{a+1}}$ $x^a$? ¡¡¡Muchas gracias!!!

Answer 1

Se debe utilizar la definición de la transformación de Laplace y de la función Gamma: $$\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_0^\infty e^{-sx}f(x)dx,\hspace{10pt} \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty e^{-t}t^{\alpha-1}dt$$ apenas sustituto $f(x)=x^a$ y cambiar la variable $sx\mapsto t$.

Answer 2

Por definición, se da el Laplace transforme $\mathcal{L}(x^a)$ de la función $x\mapsto x^a$ por $$ \mathcal{L}(x^a)(s) = \int_0^\infty \exp(-sx) x ^ a\mathrm {d} x. $$

La función Gamma es defind por un integral similar, es decir, $ \Gamma(s) = \int_0^\infty \exp(-x) x ^ \mathrm {s-1} {d} x. $$

La transformada de Laplace de $x^a$ por lo tanto puede ser computada por el % de transformación variable $x\mapsto x/s$.

Answer 3

\begin{align*} \mathcal L\left\{ x^{a}\right\}&=\int\limits_0^\infty x^{a}e^{-{s}x}\text dx \\\text{let } x=\frac u{s}\qquad\quad\text dx=\frac{\text du}{s}& \\x=0\rightarrow u=0\qquad x=\infty\rightarrow u=\infty&\\ \\&=\int\limits_0^\infty \left(\frac u{s}\right)^{a}e^{-{s}\frac u{s}}\frac{\text du}{s} \\&=\frac{1}{{s}^{{a}+1}}\int\limits_0^\infty u^{a}e^{-u} {\text du}\\ \\&=\frac{\Gamma({a}+1)}{{s}^{{a}+1}}&\qquad a\in\mathbb C\big|\Re(a)\geq-1\\ \\&\color{grey}{=\frac{{a}!}{{s}^{{a}+1}},}&\qquad \color{grey}{{a}\in\mathbb Z\geq0} \end{align*}

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\begin{align*} \mathcal L\left\{ x^{a}\right\}=\frac{\Gamma({a}+1)}{{s}^{{a}+1}}\\ % \mathcal L^{-1}\Big\{\mathcal L\left\{ x^{a}\right\}\Big\}=\mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma({a}+1)}{{s}^{{a}+1}}\right\}\\ x^{a}=\mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma({a}+1)}{{s}^{{a}+1}}\right\}\\ \end{align*}

Answer 4

Utilizar la definición de la transformación de laplace es decir. en su caso, $$F(s) = \int_0^\infty x^a e^{-sx} dx$ $