producto de divisores de n como una potencia de n.

Question

Estoy tratando de demostrar que $$\prod_{d|n}{d}=n^\frac{d(n)}{2},$$ donde $d(n)$ es el número de divisores de a $n$.

Mi primer pensamiento fue para decir que vamos a $\{d_i\}_{i=1}^k$ ser el conjunto de todos los divisores de a $n$. Esto significa que $d(n)=k$. Pero $d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_m+1)$ cuando definimos $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_m^{\alpha_m}$. Por lo $m<k$.

Ahora los divisores de $n$ son sólo el producto de primer poderes con alguna combinación de los números primos/primer poderes eliminado. Por ejemplo, un divisor, $d_i=\frac{n}{p_j^{\alpha_l}}$. El producto de estos divisores producirá $n^k$ en el numerador, y $n^i$ en el denominador con $i<k$ ya que el denominador contendrá todos los $p_j^{\alpha_j}$. Pero, ¿cómo demostrar que es exactamente $n^\frac{d(n)}{2}$ es escapar de mí.

Answer 1

Que nuestro producto sea $P$. Entonces $$P=\prod_{d|n} d.$ $ pero también tienen $$P=\prod_{d|n} \frac{n}{d}.$ $ así $$P^2=\prod_{d|n} \left(d\cdot \frac{n}{d}\right)=\prod_{d|n} n=n^{d(n)}.$ $

Answer 2

Hay una manera mucho más sencilla de resolver esto.

Deje $S = \lbrace d\vert n, d \leq \sqrt{n}\rbrace$$S' = \lbrace d\vert n, d >\sqrt{n}\rbrace$. Tenga en cuenta que $S \cup S'$ es el conjunto de todos los divisores de a $n$ y $S \cap S' = \emptyset$.

Así, por cada $d \in S$ tenemos un único $d' \in S'$ tal que $dd' = n$.

$$\prod_{d\vert n} d = \prod_{d\in S}d \prod_{d'\in S'}d'$$

Por lo tanto, si $n$ no es un cuadrado perfecto, $S$ $S'$ tienen la misma cantidad de elementos: $d(n)/2$. Por lo tanto, podemos emparejar los elementos en $S$ y en $S'$ tal que $d_kd'_k = n$.

$$\prod_{d\in S}d \prod_{d'\in S'}d' = \prod_{d_k \in S, d'_k \in S'} d_kd'_k = n^{\vert S'\vert} = n^{d(n)/2}$$.

Si $n$ es un cuadrado perfecto, se puede hacer el mismo emparejamiento, pero vamos a tener un elemento adicional en $S$ sin par, que es, precisamente,$\sqrt{n}$, por lo que tendríamos:

$$\prod_{d\in S}d \prod_{d'\in S'}d' = \sqrt{n}\prod_{d_k \in S, d'_k \in S'} d_kd'_k = \sqrt{n}n^{\vert S'\vert} = \sqrt{n}n^{[d(n)-1]/2} = n^{d(n)/2}$$

$\square$