¿Cómo puedo calcular esta integral?
$$I=\int_{0}^{1}\ln{\left(\ln{\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)}\right)}dx$$
En la sala de chat de matemáticas alguien sugiere ajuste $x=\operatorname{sech}(t)$ y que sigue inmediatamente el resultado.
No estoy de acuerdo con lo
porque $$\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}+\sqrt{\cosh^2{t}-1}=e^t$ $ y $$dx=\frac{e^t}{(e^{2t}+1)^2}dt$ $
tan % $ $$I=\int_{0}^{\infty}\ln(t)\frac{e^{t}}{(e^{2t}+1)^2}dt$gracias por su ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sheng Jiang 蒋晟
Puntos
11113
Su derivado no es correcta. Realmente usted debe obtener $$\mathrm{d}x=-\mathrm{sech}(t)\tanh(t)\mathrm{d}t\,.$ $ la integral entonces se convierte en $$I=-\int_\infty^0\log(t)\mathrm{sech}(t)\tanh(t)\mathrm{d}t=\int_0^\infty\log(t)\mathrm{sech}(t)\tanh(t)\mathrm{d}t\,.$ $
Todavía no es un integral trivial, pero Mathematica me dice que es $$I=-\gamma +\log \left(\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)\right)-2 \log \left(\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)\right)+\log \left(\Gamma \left(\frac{5}{4}\right)\right)\approx 0.205973\,. $ $ aquí, $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\Gamma$ es la habitual función Gamma.
