¿Cómo definir un espacio topológico finito?

Question

Quiero desarrollar una forma sencilla de definir las topologías en conjuntos finitos $X=\{1,2,\dots,n\}$ para experimentos computacionales.

¿Hace cualquier función $c:X\to \mathcal P(X)$, que $x\in c(x)$, definir un operador de cierre en $X$?

La idea es que el $c$ debe definir un operador de clausura por %#% $ #%

Answer 1

Usted necesita una propiedad adicional para garantizar que el operador del encierro será idempotent. Que requieren $$x \in c(y) \Rightarrow c(x) \subseteq c(y)$ $ además de $x \in c(x)$ es necesario y suficiente.

Answer 2

Es suficiente definir una relación $x \le y$, la orden de especialización, (tan sólo un subconjunto de $X^2$), que es un pre-order, así $x \le x$ % todo $x$y $x \le y$ y $y \le z$ $x \le z$ implica. ($\le$ es reflexiva y transitiva).

Esta relación se define en un espacio topológico por $x \le y$iff $x \in \overline{\{y\}}$. Pero si empezamos con un % arbol $\le$, podemos definir una topología: $\overline{\{y\}}$ entonces se define en $\downarrow y = \{x \in X: x \le y\}$ y $\overline{A} = \cup_{x \in A}\downarrow x$.

El conjunto de espacios topológicos finitos es sólo el conjunto de finitos pre-orders.

Answer 3

Jajaja En primer lugar, debe ser una función $c\colon\mathcal{P}(X)\longrightarrow\mathcal{P}(X)$. Además, deben cumplir estas condiciones:

1. $A\in\mathcal{P}(X)\Longrightarrow A\subset c(A)$;
2. $A,B\in\mathcal{P}(X)\wedge A\subset B\Longrightarrow c(A)\subset c(B)$;
3. $A\in\mathcal{P}(X)\Longrightarrow c\bigl(c(A)\bigr)=c(A)$.

Answer 4

Si desea una forma simple de definir espacios topológicos finitos, las más sencillas no son más que una cadena de inclusiones:

$\emptyset \subset A_1 \subset A_2 \dots \subset A_n ( = X) $

${A_i}^{'}s$ Son sus sistemas cerrados.

Esto no describe todas las topologías en $X$, pero puede ser útil para los experimentos.

Answer 5

A partir de una función arbitraria $c:X\to\mathcal P(X)$ tal que $\forall x\in X:x\in c(x)$, este debe ser un algoritmo para transformar $c$ a una función que define un operador de cierre, debido a la respuesta aceptada:

$0:\quad$ $\mathrm{ready}\leftarrow\mathrm{true}$
$1:\quad$ $i\leftarrow 1$
$2:\quad$ $j\leftarrow 1$
$3:\quad$ Si $i\in c(j)$ y $c(i)\cap c(j)\neq c(i)$ y $c(j)\leftarrow c(j)\cup c(i)$; $\mathrm{ready}\leftarrow\mathrm{false}$
$4:\quad$ $j\leftarrow j+1$
$5:\quad$ Si $j\leq n$entonces goto $3$
$6:\quad$ $i\leftarrow i+1$
$7:\quad$ Si $i\leq n$entonces goto $2$
$8:\quad$ Si no listo entonces goto $0$