¿Cómo saber qué hace el mapa en teoría algebraica de números?

Question

Estoy estudiando teoría algebraica de números pero uno de los mayores retos a los que me enfrento es entender qué hacen los mapas entre ideales, órdenes, grupos de clases? El trabajo de investigación al que me refiero no dice nada explícitamente y supongo que por eso estoy aquí. Por favor, ayúdenme a entender qué hace el mapa.

En la imagen de arriba, $I(\mathcal{O}_\Delta,f)$ es el conjunto de fraccionarios invertibles $\mathcal{O}_\Delta$ - ideales primos de $f$ donde $\mathcal{O}_\Delta$ es el orden de un campo cuadrático imaginario $K$ .

Tengo curiosidad por saber qué hace el $\varphi_f$ ¿lo hace el mapa? Realmente no dice nada en cuanto a lo que la operación de mapa es aparte del hecho de que el mapa es un isomorfismo y envía una $\mathcal{O}$ primo ideal para $f$ a su correspondiente $\mathcal{O}_K$ primo ideal para $f$ . ¿Qué hace el mapa? Además, ¿cómo se entienden las operaciones de mapa como la dada? ¿Existe algún truco o procedimiento para poder definir realmente la operación de mapa? Por ejemplo, me gustaría averiguar qué hace el mapa inverso $\mathcal{\varphi^{-1}}$ ¿cómo hacerlo?

Gracias, señor.

Answer 1

En su pregunta, usted afirma: "envía una $\mathcal{O}$ primo ideal para $f$ a su correspondiente $\mathcal{O}_K$ primo ideal para $f$ ". No estoy seguro de lo que quiere decir cuando pregunta "¿qué hace el $\varphi_f$ ¿Hace el mapa?", ya que su afirmación parece ser la respuesta a su pregunta. El mapa es una correspondencia entre $\mathcal{O}$ ideales y $\mathcal{O}_K$ y el hecho de que sea uno a uno y onto verifica que los dos conjuntos son isomorfos.

Además, "induce una suryección $\overline{\varphi}_f$ " entre los grupos de clase de los anillos respectivos. Para que esto sea cierto, el mapa $\varphi_f$ debe estar bien definido respecto a los grupos de clases, es decir, si dos ideales son equivalentes en el dominio, entonces sus imágenes son equivalentes en el codominio. Una vez verificado esto, tenemos un mapa entre grupos de clases, y el autor parece interesado en el orden de su núcleo, es decir, cuántas clases de ideales en $\mathcal{O}_{\Delta_p}$ a la clase de ideales principales en $\mathcal{O}_{\Delta_K}$ ?

Para ver el mapa inverso $\varphi^{-1}_f$ habría que tomar un ideal fraccionario arbitrario de $O_{\Delta_K}$ prime to $f$ y averiguar para qué $\mathfrak{a}\in I(O_{\Delta_f},f)$ su ideal es igual a $\mathfrak{a}O_{\Delta_K}$ . Es decir, si $\mathfrak{b}\in I(O_{\Delta_K},f)$ y $\mathfrak{b}=\mathfrak{a}O_{\Delta_K}$ para algunos $\mathfrak{a}\in I(O_{\Delta_f},f)$ entonces $\varphi^{-1}_f(\mathfrak{b})=\mathfrak{a}$ ¿Tiene sentido?