Demostrar que $ab$ es cubo perfecto.

Question

Que $a,b$ ser enteros positivos, $b<a$, que es divisible por $a^3+b^3+ab$ $ab(a-b)$. Demostrar que $ab$ es cubo perfecto.

Mi intento: que $a=dm$ y $b=dn$ tal que $gcd(m,n)=1$. Ahora $ab|(a^3+b^3+ab)$ % que $ab|a^3+b^3$.

Ahora, $\frac{d(m^3+n^3)}{(mn)}$ es un entero así que ambos $m$y $n$ brecha $d$ desde $gcd(m,n)=1$. Que $d=mnk$. Por lo tanto, $a=m^2nk$ y $b=mn^2k$ % que $ab=m^3n^3k^2$. Finalmente tenemos que demostrar que $k$ es un cubo perfecto. No estoy poniendo esto. Por favor ayuda.

Answer 1

Estabas tan cerca. El problema es que no utiliza la condición entera:

$$ab(a-b) \mid a^3+b^3+ab$$

Sólo se utiliza el hecho de que $ab \mid a^3+b^3+ab$.

Sabemos que $a=dm=km^2n$ y $b=kn^2m$ por lo que la condición es ahora:

$$k^3m^4n^4(m-n) \mid k^3m^6n^3+k^3n^6m^3+k^2m^3n^3$ $ y ahora simplificarlo:

$$kmn(m-n) \mid km^3+kn^3+1$$but this means that : $% $ $k \mid km^3+kn^3+1$o

$$k \mid 1$$

Esto demuestra que $k=1$ y, a continuación: $$ab=(mn)^3$ $ es un cubo perfecto.