El problema como sigue:
Supongamos que $X_1 \leq X_2 \leq \cdots$ y $X_n \xrightarrow[]{p} X$. Mostrar que $X_n \to X$ a.s.
Estoy pienso en mayo ser la continuidad de la medida de la probabilidad del uso, pero no sé si eso es correcto.
Respuestas
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Desde $X_n \to X$ en la probabilidad, hay un subsequence $\{X_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $X_{n_k} \to X$ casi con toda seguridad. Que $X_n \to X$ seguramente ahora sigue del hecho de que si un subsequence de una secuencia monótona converge, entonces la secuencia original converge al mismo límite.
Reto Meier
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No es necesario utilizar el argumento del subsequence. Cada $\omega$, $\{X_n(\omega)\}$ es una secuencia creciente de números reales, y por lo que tiene un límite de $Y(\omega) \in (\infty, +\infty]$. Ser un límite del pointwise de funciones medibles, $Y$ es mensurable, es decir, una variable aleatoria. Queda por demostrar que $Y = X$ a.s. Pero desde $X_n \to Y$ pointwise, también tenemos $X_n \to Y$ en probabilidad y límites de la probabilidad son únicos hasta nulo, de hecho así $Y=X$ a.s.
dsaxton
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Prueba alternativa:
Fijar $\epsilon > 0$. Puesto que la secuencia $\{ X_n \}_{n=1}^{\infty}$ es monotono y $X_ n \to X$ en la probabilidad, entonces el % de eventos $\{ |X_n - X| \geq \epsilon \}$disminuyen monotonía. Por lo tanto,
$$\begin{align} P(\{ |X_n - X| \geq \epsilon \} \,\, \text{i.o.}) &= P(\cap_{n=1}^{\infty} \cup_{i=n}^{\infty} \{|X_i - X| \geq \epsilon \}) \\ &= P(\cap_{n=1}^{\infty} \{ |X_n - X| \geq \epsilon \}) \\ &= \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \epsilon) \\ &= 0 . \end {Alinee el} $$
