¿Existe una topología de $\text{T}_1$ $\mathbb Q$ con estas propiedades? Deben ser conectado tal quitando cualquier punto desconecta el espacio.
Respuesta
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Definitivamente, usted debe comprobar cuidadosamente, ya que no estoy completamente despierto, pero creo que este hace lo que quiere; es esencialmente su idea, pero con la topología simplificado un poco. Deje $X$ ser el conjunto de todos secuencia finita de racionales, incluida la secuencia vacía $\varnothing$. Si $n\in\omega\setminus 1$, $p=\langle q_1,\ldots,q_n\rangle\in X$, $U$ es un espacio abierto de nbhd de $q_n$$\Bbb Q$, e $K$ es un conjunto compacto en $\Bbb Q$, definir
$$\begin{align*} &B(p,U,K)=\\ &\{\langle q_1,\ldots,q_{n-1},q_n',\ldots,q_m'\rangle:n\le m\in\omega\text{ and }q_n'\in U\text{ and }q_k'\notin K\text{ for }n<k\le m\}\;. \end{align*}$$
Tomar
$$\mathscr{B}(p)=\{B(p,U,K):U\text{ is an open nbhd of }p\text{ in }\Bbb Q\text{ and }K\subseteq\Bbb Q\text{ is compact}\}$$
como una base local en$p$$X$. Para $K$ un subconjunto compacto de $\Bbb Q$ vamos
$$B(\varnothing,K)=\{\langle q_1,\ldots,q_n\rangle:n\in\omega\setminus 1\text{ and }q_k\notin K\text{ for }1\le k\le n\}\;,$$
y tomar
$$\mathscr{B}(\varnothing)=\{B(\varnothing,K):K\subseteq\Bbb Q\text{ is compact}\}$$
como una base local en $\varnothing$.
