Por favor me ayudan a demostrar esta identidad: $$\gamma_1\left(\frac{3}{4}\right)-\gamma_1\left(\frac{1}{4}\right)=\pi\,\left(\gamma+4\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right),$$ donde $\gamma_n(a)$ es un generalizada Stieltjes constante y $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.
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Eric Lee
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Por definición, la generalización de Stieltjes constante $\gamma_n(a)$ es el coeficiente de $(1-s)^n$ en la generalización de la función zeta $\zeta(s,a)$: $$ \zeta(s,a) = \sum_{n\geq0}(n+a)^{-s}, $$ $$ \gamma_1(a) = -\frac{d}{ds}\Big|_{s=1}\zeta(s,a). $$
Ahora, el uso de la representación integral (ver mathworld) $$ \zeta(s,a) = \int_0^\infty \frac{t^{m-1}}{\Gamma(s)} \frac{e^{-a t}\,dt}{1-e^{-t}}, $$ para obtener $$ \gamma_1(a) = - \int_0^\infty \frac{\gamma+\log t}{1-e^{-t}}\, e^{-al}\,dt, $$ a partir de la cual se deduce que la cantidad deseada es $$ Q = \gamma_1(b) - \gamma_1(a) = \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-b t}}{1-e^{-t}}(\gamma+\log t)\,dt, $$ con $a=\frac14$, $b=\frac34$.
La primera parte de la integral es $$ \gamma\int_0^\infty \frac{e^{-a}-e^{bt}}{1-e^{-t}}\,dt = \gamma(\psi(b)-\psi(a)) = \gamma\pi $$ por una representación integral de la función digamma, o de álgebra computacional.
La segunda parte es $$ \int_0^\infty \frac{e^{-at}-e^{-bt}}{1-e^{-t}}\log t\,dt $$ que por la sustitución de $t=\log u$ se convierte en $$ 4\int_1^\infty \frac{1/u-1/u^3}{1-1/u^4}(\log 4+\log\log u)\frac{du}{u} \\= 4\int_1^\infty \frac{du}{1+u^2}(\log4+\log\log u) \\= \pi \log4 + 4\int_1^\infty \frac{du}{1+u^2}\log\log u. $$ Que la última integral se puede transformar por $u=\tan\theta$ en $$ \int_1^\infty \frac{du}{1+u^2}\log\log u = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \log\log\tan\theta \,d\theta \\= \frac{\pi}{2}\log\left(\frac{\Gamma(\frac34)}{\Gamma (\frac14)} \sqrt{2\pi} \right). $$ Esta integral es muy difícil de evaluar, se llama Vardi del integral, (ver mathworld, y el original papel "Integrales: Una Introducción a la Teoría Analítica de números" de Ilan Vardi, en jstor, que es un muy interesante de leer), y es igual a $$ \frac{d}{ds}\Big|_{s=1} \Gamma(s)L(s), \qquad L(s) = 1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+\cdots. $$ De hecho, debido a $L(s) = 4^{-s}(\zeta(s,\frac14)-\zeta(s,\frac34))$, la pregunta es realmente acerca de la computación $$ \frac{d}{ds}\Big|_{s=1} 4^{s}L(s) = 4L(1)\log4 + 4L'(1), $$ que son calculadas por Vardi en ese papel.
Para simplificar, tenga en cuenta que $\Gamma(\frac34) = \pi\sqrt{2}/\Gamma(\frac14)$ and that $\psi(\frac34)-\psi(\frac14) = \pi$.
Por último, poner todo junto, $$ Q = \gamma\pi + \pi\log4 + \pi\log \frac{4\pi^3}{\Gamma(\frac14)^4}, $$ como se desee.
El problema descrito aquí puede ser resuelto fácilmente si el uso de las expresiones explícitas para $\gamma_1(1/4)$$\gamma_1(3/4)$, véase el artículo de Donal F. Continuar "La diferencia entre los dos Stieltjes constantes" y otro sobre "el Redescubrimiento de Malmsten de las integrales, su evaluación por el contorno de los métodos de integración y algunos resultados relacionados con" que escribí hace dos años (ver pág. 100). Más resultados generales en cuanto a la primera generalizado de Stieltjes constante en la argumentación racional se puede encontrar en el preprint ya hace referencia a Vladimir (gracias). Si alguien está interesado en el diario versión de este artículo, el cual es considerablemente ampliada con respecto a la arXiv preprint, me puede enviar de forma privada por correo electrónico.
También quisiera resaltar que el integral, que Kirill atribuido a Ilan Vardi, se evaluó por primera vez por Carl J. Malmsten en 1842, ver "el Redescubrimiento de Malmsten de las integrales, su evaluación por el contorno de los métodos de integración y algunos resultados relacionados" (Wolfram sitio contiene una gran cantidad de errores, especialmente en lo relativo a la atribución de fórmulas). Por cierto, hay muchas formas para evaluar este tipo de integrales (que debería ser, sin duda llamado Malmsten de las integrales en lugar de Vardi de las integrales): por el contorno de integración, mediante el uso de la zeta de Hurwitz-función y a través de polylogarithms, la solución propuesta por Ilan Vardi, en 1988, siendo uno de los más complicada (ver el mismo papel).
