Aquí, $G'=[G,G]$, $G''=[G',G']$ y $G'''=[G'',G'']$. Yo no tenía ni idea de por donde empezar así que leí la sugerencia dada por el libro, que comenzó con "asuma $G'''=1$". Me siento incómodo con esta suposición, ya que he sido incapaz de probar que $G''$ es abelian. He intentado argumentando que $G'$ componía de elementos de la forma $x^k[y,k]$ donde$x\in G''^c$$y,z \in G'$, pero después de la computación conmutador de dos de tales elementos, no encontré ninguna razón para que dos de los conmutadores deben desplazarse.
Si yo ciegamente supone que era cierto, entonces las $G''$ sería cíclico, pero aparte de eso no veo cómo exactamente es necesariamente el trivial grupo.
¿Por qué es $G''$ abelian? Y ¿por qué es necesariamente igual a $1$?
Respuesta
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Como señaló el Señor Tiburón a lo Desconocido, esto no es cierto sin ningún tipo de condiciones adicionales en el grupo $G$. Es cierto cuando $G$ es solucionable.
Ahora, pon $X=G/G'''$. A continuación,$X' \cong G'/G'''$$X'' \cong G''/G'''$. Por otra parte, $X'''=1$.
Así que, por los teoremas de isomorfismo, $X'/X'' \cong G'/G''$ es cíclico y $X'' $ es cíclico. Observar que $X/C_X(X'')$ incrusta homomorphically en Aut$(X'')$ (tenga en cuenta la conjugación de la acción de $X$ $X''$ y no hay que olvidar que $X'' \unlhd X$), y este último automorphism grupo abelian, ya $X''$ es cíclico. Por lo tanto $X' \subseteq C_X(X'')$ y esto implica que $X'' \subseteq Z(X')$. Y, por supuesto,$Z(X') \subseteq X'$. Este rendimientos $X'/Z(X') \cong (X'/X'') / (Z(X')/X'')$, siendo el cociente de un grupo cíclico, es cíclico y un hecho bien conocido, a continuación, dice que $X'$ debe ser abelian! Por eso, $X''=1$ y la escritura de este a $G$, esto significa $G''=G'''$.
Si $G$ sería solucionable, esto significaría $G''=G'''=1$.
