El Conjunto de los números Complejos es un campo, así como un agradable espacio topológico homeomórficos a $\mathbb{R}^2$. Pero ¿por qué un particular interés para este espacio? Por ejemplo, lo que es más especial que cualquier otro $\mathbb{R}^n$? Estoy de acuerdo en que cada función en un complejo de dominio se verá como una única variable de la función y tienen una buena definición de un derivado con respecto a que la única variable donde como en $\mathbb{R}^3$ no podemos(?) tienen una sola variable para diferenciar una función con.Particularmente Holomorphic funciones como muchas veces diferenciable como queremos. Pero ¿eso es todo? Creo que hay más a él, pero no podía obtener una imagen de la misma. Cualquier conocimiento? Gracias
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Como una respuesta a tu comentario "no sabía que multiplicativo estructura de C fue el responsable de holomorphicity", usted tiene que utilizar la estructura de campo de los números complejos para definir la derivada a través de los límites de cocientes.
Usted puede también preguntarse si se puede definir dichos derivados a través de quotiens en otras $\mathbb{R}^n$ para n>2. Sin embargo, con el fin de definir un cociente en la necesidad de un álgebra de estructura tal que cualquier elemento distinto de cero tiene un inverso, es decir, una división de álgebra de la estructura. Debido a los clásicos teoremas de Frobenius y Hurwitz esto obliga a n=4 o 8 y el correspondiente álgebra no conmutativa (o incluso asociativo en el caso n=8), lo cual es indeseable si uno quiere hacer el cálculo.
Homer
Puntos
198
Creo que tienes el punto principal: La definición de complejo diferenciable (holomorphic) funciones utiliza la estructura multiplicativa de $\mathbb{C}$ en una forma esencial. No es sólo una función derivable de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$. No hay más dimensiones del campo de las extensiones de $\mathbb{R}$, por lo que no tiene un análogo en dimensiones superiores.
