Dimensión de Producto Tensor para tv de Extensiones

Question

Supongamos que $A,B,$ $C$ son conmutativas unital anillos, $A\to B$ plano, y $A\to C$ es cualquier mapa. Estoy tratando de determinar si $$ \dim B\otimes_AC=\dim B+\dim C-\dim a $$ Cualquier contraejemplos o referencias? Estoy tomando la dimensión de Krull de la zero anillo de ser -1 (en caso de que un producto tensor es 0).

Gracias por cualquier comentario.

Edit: Por $\dim$ me refiero a la dimensión de Krull.

Answer 1

Tome $A=\mathbb Z,$$B=C=\mathbb Q$. A continuación, $B\otimes_AC=\mathbb Q$ y su fórmula se obtiene: $0=0+0-1$, absurdo.

Answer 2

Tome $A=k,$ a un campo y $B=k(x), C=k(y)$ donde $x,y$ son trascendentales sobre$k.$, Entonces el anillo de $k(x)\otimes_kk(y)$ es una de las dimensiones del anillo (Qing Liu, la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, Ch. 3, Ex. 1.9) y esto contradice claramente la declaró la igualdad.