Supremum de una unión de conjuntos acotados

Question

Dado $A$, $B$ están delimitadas subconjuntos de a $\Bbb R$. Probar

1. $A\cup B$ está acotada.
2. $\sup(A \cup B) =\sup\{\sup A, \sup B\}$.

Alguien puede ayudar con esta prueba?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad supongamos que $\sup A\le\sup B$, por lo que el $\sup\{\sup A,\sup B\}=\sup B$, y simplemente quiero mostrar que $\sup(A\cup B)=\sup B$. Claramente $\sup(A\cup B)\ge\sup B$, por lo que es suficiente para mostrar que $\sup(A\cup B)\le\sup B$.

Para mostrar que $\sup(A\cup B)\le\sup B$, acaba de demostrar que $\sup B$ es un límite superior para $A\cup B$, es decir, que $x\le\sup B$ por cada $x\in A\cup B$. Esto no es difícil si usted recuerda que hemos asumido en el principio de que $\sup A\le\sup B$.

Answer 2

para $1$ utiliza el hecho de que $x\in A\cup B \Leftrightarrow x\in A$ o $x\in B$ (aviso que $SupA,\space SupB$ existe desde $A,\space B$ son acotados) y para $2$ usar la menor cota superior de la propiedad. que si $SupA = M \Leftrightarrow \forall x\in A,\space \exists M\in \mathbb{R}$ tal que $x\leq M$ $\forall \epsilon>0,\space M - \epsilon \leq x$