Que $X,Y,H$ sea la base estándar para el % de la álgebra de mentira $\mathrm{sl}_2({\mathbb{C}})$, es decir, $H=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &-1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $Y=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Sea $V$ alguna representación irreducible dimensional finita de $\mathrm{sl}_2$. Lo siento si mi pregunta es para los niños, pero ¿por qué la acción de $H$ es diagonalizable?
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Rene Schipperus
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Hay dos formas de ver que este es el hecho de que la descomposición de Jordan se conserva bajo representaciones de álgebras de Lie semisimple. La segunda es truco unitario de Weyl que se basa en el hecho de que todas las representaciones de los grupos compactos son totalmente reducibles. Puedes encontrar más en ambos en Fulton y Harris: un primer curso de teoría de representación.
La primaria la prueba se basa en la siguiente observación:
Deje $\lambda\in\Bbb C$ ser un autovalor de a $H$ actuando en $V$ (cualquier finito dimensionales representación de $\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$). A continuación, la siguiente suma de subespacios propios de a $H$ $$W=\bigoplus_{n\in\Bbb Z}E_{\lambda+2n}(H)$$ es un subrepresentation de $V$.
Aquí, para cada número complejo $\alpha$, $E_{\alpha}(H)=\lbrace v\in V\mid H\cdot{}v=\alpha v\rbrace$ es $0$ o un subespacio propio de $H$ al $\alpha$ es un autovalor.
El hecho de que $\lambda$ es autovalor es en realidad irrelevante para la prueba de la reclamación. Por supuesto, si no es un autovalor de a$H$, $W$ podría muy bien ser $0$.
Deje $\lambda\in\Bbb C$ ser un complejo número y $W$ se define como la anterior. Vamos a mostrar que $W$ es un subrepresentation de $V$, es decir, que nos muestran que es estable bajo la acción de la $\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$. Por construcción es estable bajo $H$. Deje $n\in\Bbb Z$ ser un número entero, y $v\in E_{\lambda+2n}(H)$. Entonces
$$ \begin{array}{rvl} H\cdot\big(X\cdot v\big)&=&[H,X]\cdot v+X\cdot\big(H\cdot v\big)\\ &=& 2X\cdot v+X\cdot(\lambda+2n)v\\ &=&(\lambda+2(n+1))X\cdot v \end{array}$$ es decir, $X\cdot v\in E_{\lambda+2(n+1)}(H)\subset W$. Del mismo modo, $Y\cdot v\in E_{\lambda+2(n-1)}(H)\subset W$, y la demanda de la siguiente manera. Esto demuestra que $W$ es estable bajo $X, H$$Y$, por lo que es de hecho una subrepresentation de $V$.
Ahora supongamos $V$ es irreductible e $\lambda$ es un valor propio de la acción de la $H$ $V$ (debido a $V$ es finito dimensionales más de $\Bbb C$, existe al menos a un autovalor). De lo que precede sabemos que $W$ a (distinto de cero) subrepresentation de de $V$ por lo que es de $V$. Por definición, $H$ es diagonalizable en $W$, por lo tanto $H$ hechos en diagonal en $V$.
Si $V$ es irreducible, entonces $W$ es de $V$ y tenemos que $$\mathrm{Spec}(H)\subset\lbrace\lambda+2n\mid n\in\Bbb Z\rbrace$$ En realidad si $0\leq m,n$ son de máxima tal que $\lbrace\lambda+2k\mid -m\leq k\leq n\rbrace\subset\mathrm{Spec}(H)$ $$\mathrm{Spec}(H)=\lbrace\lambda+2k\mid -m\leq k\leq n\rbrace)$$
El ligeramente más fuerte reclamo de la siguiente manera a la vez y es muy fácil de establecer. Se requiere más trabajo para mostrar que todos los subespacios $E_{\lambda+2k}$ $-m\leq k\leq m$ son unidimensional.
Yo recomendaría Problema 1.55 de este libre y maravillosa Introducción a la teoría de la representación.
