Esta pregunta plantea un método aparentemente muy simple para resolver problemas del tipo "¿cuántos $x$ dígitos números existen con suma de dígitos $y$?", pero no lo entiendo. ¿Por qué son las "malas" soluciones en correspondencia con las soluciones de $y_1 + 10 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 23$? ¿Cuál es la idea?
Por ejemplo, ¿qué "solución correcta" corresponde al $y_1=13$? ¿Cómo resolver este problema?
La referida pregunta se pide el número de no-negativo entero de soluciones de \begin{align*} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=23 \end{align*} con sólo una restricción adicional $0\leq x_1\leq 9$. En este caso no es necesario la inclusión-exclusión principio.
Con el fin de determinar todos los enteros soluciones con \begin{align*} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=23\qquad\qquad0\leq x_1\leq 9,0\leq x_2,x_3,x_4,x_5\tag{1} \end{align*}
nos fijamos en todo entero soluciones de
\begin{align*} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=23\qquad\qquad\qquad\qquad 0\leq x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\tag{2} \end{align*}
y restar todas las soluciones de
\begin{align*} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=23\qquad\qquad\qquad x_1\geq 10, 0\leq x_2,x_3,x_4,x_5\tag{3} \end{align*}
Las soluciones de (3) son los llamados mala de las soluciones, en la que se refiere la pregunta, significando que las soluciones no válidas que se van a restar la hora de determinar las soluciones de (2).
Con el fin de calcular (2) con la agradable rango de $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geq 0$, se pueden usar las estrellas-y-bares técnica y obtener \begin{align*} \binom{23+4}{4}=\binom{27}{4}=17550 \end{align*}
Con el fin de calcular (3) vamos a transformar la gama por una sustitución adecuada que nos permite aplicar las estrellas y las barras de la técnica de nuevo. En lugar de $x_1\geq 10$, sustituimos $x_1=y_1+10$ y el rango de $x_1\geq 10$ puede ser transformado después a $y_1+10\geq 10$ o, equivalentemente,$y_1\geq 0$.
De esta manera podemos obtener a partir de (3)
\begin{align*} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=23\qquad\qquad\qquad x_1\geq 10, 0\leq x_2,x_3,x_4,x_5\\ (y_1+10)+x_2+x_3+x_4+x_5&=23\qquad\qquad\qquad 0\leq y_1,x_2,x_3,x_4,x_5\\ y_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=13 \end{align*}
Ahora estamos en la misma situación, como en (2) y se pueden aplicar las estrellas y las barras de la técnica de nuevo.
\begin{align*} \binom{13+4}{4}=\binom{17}{4}=2380 \end{align*}
$$ $$
Se obtiene finalmente el número de ganas de soluciones como el número total de soluciones de (2) menos el número de soluciones de (3) \begin{align*} \binom{27}{4}-\binom{17}{4}=17550-2380=15170 \end{align*}
Si $x_1 + x_2 + x_2 + x_3 + x_ + x_5 = 23$ y una o más de las $x_i$ tiene más de un dígito. De uno o más términos, que es, al menos,$10$. Podemos reemplazar la $x_i$s $x'_i$s, donde una de las $x'_i = x_i -10 \ge >0$ y el resto de la $x'_j = x_j$. A continuación,$10+ x'_1 + x'_2 + .... + x'_5 = 23$.
Así que si eliminamos todas esas soluciones que hemos eliminado todas las soluciones en las que al menos uno de los $x_i$ fue de dos dígitos.
Tan sólo estamos a la izquierda con soluciones en las que todos los términos son de un solo dígito.
No hemos de eliminar cualquier tipo de soluciones extrañas porque si $x_1 + ... x_5 = 23$ y todos los $x_i$ son de un solo dígito y $10 + x'_1 +.... + x'_5 = 23$, no es posible para $x'_j = x_j$ para todos, pero uno de los términos; que hacen de la $x'_i = x_i -10 < 0$.
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Argh. MAL!!
Mediante la eliminación de soluciones a $10 + .... = 23$ elimate una respuesta con dos multidígitos términos de dos veces.
E. G. $10 + 11 + 0 + 1 + 1$ será eliminado por la eliminación de $10 + ( 0+ 11 + 0 + 1 + 1)$ y la eliminación de $10 + (10 + 1 + 0 + 1 + 1)$.
Para evitar una doble contabilización, debemos volver a agregar, por tanto, con dos multidigits.
Por lo que la solución debe ser:
# solut a $x_1 + x_2 + ... + x_5 = 23$ - # soluciones a $10 + x_1 + ..+x_5 = 23$ + # soluciones a $10 + x_1+.... + x_5 = 23$
Lo cual puede ser muy complicado para sumas mayores de 30 años. Mejor venir con otro método por completo.
También no soy grande en la combinatoria, pero voy a dar a este un tiro para darle un comienzo. Esto no va a ser una respuesta, pero un comentario extendido.
En primer lugar, debemos establecer el número de números no negativos satisfactoria \begin{equation}\sum_{i=1}^5 x_i=23\end{equation} (llamar a este (*)). Este es un estándar de estrellas y barras tipo de problema, donde tenemos $23+(5-1)=27$ estrellas y $5-1=4$ bares. Pero hemos overcounted, debido a que algunas de estas soluciones de algunos de los números es mayor que o igual a 10, el cual no debe ser permitido porque quiere un número de 5 dígitos. Para esto, podemos usar la inclusión-exclusión principio (queremos que la segunda citada ecuación).
Deje $A$ el conjunto de soluciones de (*) cuando ninguno de los números enteros es igual o superior al 10 $B$ el conjunto de soluciones 1 número entero es mayor que o igual a 10, y $C$ donde dos de los enteros son mayores o iguales a 10. Después de esto, hemos terminado, porque en la mayoría de las 2 de la $x_i$ en las soluciones que cuentan puede ser mayor o igual a $10$. Entonces \begin{align} |A\cup B\cup C|= |A| + |B| + |C| - |B\cap C|\end{align} (I excluidos de las partes de la suma que estaban vacíos). Queremos saber $|A|$, sabemos $|A\cup B \cup C|$, por lo que tenemos que calcular el $|B|,|C|,|B\cap C|$. La manera de calcular $|B|,|C|$ es dado, más o menos, en la respuesta que he citado en los comentarios.
La manera de calcular $|B\cap C|$, no estoy seguro de la parte superior de mi cabeza. También debemos excluir las soluciones donde $x_1=0$. En el citado método, el número es lo suficientemente pequeño como para contar con la mano. Para este caso necesitamos un método más robusto.
Edit: Ver también aquí para obtener ideas. Estoy fuera de la puerta, pero la mejor de las suertes para usted!
Edit 2: de Vuelta, y me desordenó un poco de prisa. $B\cap C$ es obviamente igual al número de soluciones donde exactamente 2 números de $\geq 10$. Así que sólo se puede dar $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|$ donde $A$ es como antes, $B$ es el número de soluciones con exactamente un número $\geq 10$, e $|C|$ el número de soluciones con exactamente dos números de $\geq 10$. Entonces vamos a necesitar para refinar por excluyendo el caso de que $x_1=0$, esto se puede hacer con el truco $x_1'=x_1-1$, aunque un poco de cuidado necesita ser tomado.
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