Es este espacio un Espacio de Hilbert?

Question

Tengo un espacio de continua de funciones diferenciables en [a, b] con el producto escalar se define de este modo: $ x \cdot y = \int_a^b \! [x(t)y(t) + x'(t)y'(t)] \, \mathrm{d}t. $ Es este espacio un Espacio de Hilbert? Creo que completura del espacio deben ser revisados, pero no sé cómo hacerlo.

Comparando con el espacio de funciones continuas en [a, b] (no es obligatorio diferenciable) que tiene el producto escalar de a $ x \cdot y = \int_a^b \! x(t)y(t) \, \mathrm{d}t $ veo que mi espacio y producto escalar (con sus derivados) excluir a algunos standart secuencias funcionales que ayudan a demostrar que el espacio de funciones continuas es incompleta. Me refiero a que, por ejemplo, esta secuencia funcional de $ f_n(t) = \begin{cases} -1, & \text{if }t\text{ in [-1, -1/n]} \\ nt, & \text{if }t\text{ in [-1/n, 1/n]} \\ 1, & \text{if }t\text{ in [1/n, 1]} \end{casos} $ muestra que el espacio de funciones continuas es incompleta, pero no es aplicable a mi problema, porque no es continuamente diferenciable.

Answer 1

Te estás acercando con su ejemplo las funciones de $f_n$$[-1,1]$. Intente dejar $g_n(t) = \int_{-1}^t f_n(s)\,ds$. Espectáculo $g_n$ converge en la norma para una función que no es continuamente diferenciable.

Answer 2

La finalización de su espacio lineal consta de todas las funciones que son iguales a.e. absolutamente funciones continuas en $[a,b]$ cuyos derivados son de cuadrado integrable. Esta semi-clásica caracterización del espacio de Sobolev sólo está disponible para $R^{d}$ donde $d=1$. Así que, no, el espacio de forma continua funciones diferenciables no está completa cuando el uso de su producto interior.

No es difícil mostrar que el conjunto de funciones absolutamente continuas en $[a,b]$ con cuadrado integrable derivados es un completo espacio. Y, si $f$ es cualquier función, existe una sucesión de funciones continuas $\{ g_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ que converge a$f'$$L^{2}[a,b]$. A continuación, $f(a)+\int_{a}^{x}g_{n}(t)\,dt$ converge en la norma a $f$. Por lo $f$ es en la finalización.

Answer 3

Ok, lo tengo. He construido la secuencia $ f_n(t) = \begin{cases} -t, & \text{if }t\text{ in [-1, -1/n]} \\ \frac{nt^2}{2} + \frac{1}{2n}, & \text{if }t\text{ in [-1/n, 1/n]} \\ t, & \text{if }t\text{ in [1/n, 1]} \end{casos} $

Tiene la función que he escrito arriba como un derivado y converge para |t|, que no es en el espacio de continua de funciones diferenciables.