Mostrar esta matriz es invertible

Question

Considere la matriz \begin{equation} S_n = \begin{bmatrix} \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & \cdots & \frac{1}{(n+1)!} \\ \frac{1}{3!} & \frac{1}{4!} & \cdots & \frac{1}{(n+2)!} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{(n+1)!} & \frac{1}{(n+2)!} & \cdots & \frac{1}{2n!} \\ \end{bmatrix}. \end{equation}

Me interesa saber si $S_n$ es invertible para todos los $n$. Yo no necesito a la inversa explícitamente, sabiendo que existe es suficiente (es decir. no-cero determinante para todos los $n$ es suficiente).

Si esta matriz tiene un nombre especial, agradecería si alguien pudiera traer a mi atención.

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Para cada una de las $k\le n$, definir un $k\times k$ matriz de la siguiente manera: $$ A_k=\begin{bmatrix} \dfrac{(n+1)!}{(n-k+2)!} &\dfrac{(n+2)!}{(n-k+3)!} &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k)!}{(n+1)!}\\ \dfrac{(n+1)!}{(n-k+3)!} &\dfrac{(n+2)!}{(n-k+4)!} &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k)!}{(n+2)!}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\ \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} &\dfrac{(n+2)!}{n!} &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k)!}{(n+k-2)!}\\ \dfrac{(n+1)!}{n!} &\dfrac{(n+2)!}{(n+1)!} &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k)!}{(n+k-1)!}\\ 1&1&\cdots&\cdots&1 \end{bmatrix} $$ Desde $A_n=S_n\operatorname{diag}\left((n+1)!,(n+2)!,\ldots,(2n)!\right)$, es suficiente para mostrar que $A_k$ es invertible para cada una de las $1\le k\le n$. Vamos a probar esto por inducción matemática. El caso base $k=1$ ( $A_1=[1]$ ) es trivial. Para el paso inductivo, restar todos los $j$-ésima columna (con $j\ge2$) por la columna de la izquierda para obtener $$ \left[\begin{array}{c|cccc} \dfrac{(n+1)!}{(n-k+2)!} &\dfrac{(n+1)!}{(n-k+3)!}(k-1) &\cdots &\cdots & \dfrac{(n+k-1)!}{(n+1)!}(k-1)\\ \dfrac{(n+1)!}{(n-k+3)!} & \dfrac{(n+1)!}{(n-k+4)!}(k-2) &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k-1)!}{(n+2)!}(k-2)\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\ \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} &\dfrac{(n+1)!}{n!}(2) &\cdots &\cdots &\dfrac{(n+k-1)!}{(n+k-2)!}(2)\\ n+1 &1 &\cdots &\cdots &1\\ \hline 1&0&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right]. $$ Ahora hemos terminado, porque la parte superior derecha de sub-bloque de esta matriz es $\operatorname{diag}(k-1,k-2,\ldots,1)A_{k-1}$. Esta prueba también muestra que $|\det S_n|=\prod_{k=1}^n\frac{(k-1)!}{(n+k)!}$.