El orden de $ab$ al $a,b$ commute

Question

Deje $a,b$ ser dos de los elementos del grupo finito de orden que se desplazan.

¿Qué se puede decir acerca de la orden de $ab$?

Pensé que $|ab| = \text{lcm}(|a|,|b|)$. Mi prueba fue que $(ab)^n = a^n b^n =e$ si y sólo si $a^n = b^n = e$ si y sólo si $|a|,|b|$ brecha $n$. El más pequeño $n$, de forma que ambos órdenes de dividir es el mínimo común múltiplo de a$|a|$$|b|$.

Por casualidad me encontré con esta respuesta. Tiene un upvote por lo que es claramente correcta. (?)

Pero esto contradice lo que yo pienso: Es claro que

$$ (ab)^{\text{lcm}(|a|,|b|)} = e$$

por lo tanto $|ab| \mid \text{lcm}(|a|,|b|)$.

A mí me parece que esto está diciendo más de $|ab| \mid |a| |b|$. ¿No es así?

Ahora mi pregunta es: ¿cuál es la precisest declaración de que se puede hacer sobre las $|ab|$? ¿Hay algo más que $|ab| \mid \text{lcm}(|a|,|b|)$ que se puede decir acerca de la $|ab|$?

Answer 1

Así, sólo así, todos tenemos claro: escrito $m$ para el orden de $a$ $n$ para el orden de $b$, es claro que la orden se divide $\text{lcm}(m, n)$, y que esta es una declaración más fuerte que el que divide $mn$ (por ejemplo, cuando se $m = n$). También es claro que no todos los divisores ocurrir como órdenes (por ejemplo, cuando se $m$ $n$ son coprime).

Así que hay una pregunta interesante acerca de exactamente lo que los pedidos de la división de la lcm se producen. Deje $d$ ser un divisor. Si $ab$ orden $d$,$(ab)^d = e$, o, equivalentemente,$a^d = b^{-d}$. Ahora, $a^d$ es un elemento de orden $\frac{n}{\gcd(n, d)}$, mientras que $b^{-d}$ es un elemento de orden $\frac{m}{\gcd(m, d)}$. Por lo que una condición necesaria para $d$ a un posible orden es que estas órdenes de partido:

$$\frac{n}{\gcd(n, d)} = \frac{m}{\gcd(m, d)}.$$

Es más limpio aquí para pensar en todo lo que uno se prime a la vez. Escribir $\nu_p(n)$ por la mayor fuerza de un primer $p$ dividiendo $n$. A continuación, la identidad anterior es equivalente a la identidad

$$\nu_p(n) - \text{min}(\nu_p(n), \nu_p(d)) = \nu_p(m) - \text{min}(\nu_p(m), \nu_p(d))$$

o, equivalentemente,

$$\nu_p(n) - \nu_p(m) = \text{min}(\nu_p(n), \nu_p(d)) - \text{min}(\nu_p(m), \nu_p(d))$$

donde la única restricción de $\nu_p(d)$ es que es en la mayoría de las $\nu_p(\text{lcm}(m, n)) = \text{max}(\nu_p(n), \nu_p(m))$.

A partir de aquí hay dos casos, y los diferentes casos que pueden ocurrir por diferentes números primos. Si $\nu_p(n) = \nu_p(m)$, entonces no hay ninguna restricción en $\nu_p(d)$. Pero si $\nu_p(n) \neq \nu_p(m)$, tanto de los minutos anteriores deben evaluar a $\nu_p(n)$ $\nu_p(m)$ respectivamente (en el fin de mantener su diferencia en el mismo como distinto de cero diferencia entre el$\nu_p(n)$$\nu_p(m)$), y así llegamos a la conclusión de que $\nu_p(d) = \text{max}(\nu_p(n), \nu_p(m))$, como se indica por Zoe H en los comentarios.

No he pensado acerca de si esta condición necesaria es suficiente; si es entonces el de la construcción es probablemente sencillo. Usted puede volver a trabajar a un primer a un tiempo.