¿Por qué los objetos siguen geodésicas en el espaciotiempo?

Question

Tratando de enseñarme la relatividad general. Más o menos entiendo la derivación de la ecuación geodésica $$\frac{d^{2}x^{\alpha}}{d\tau^{2}}+\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\frac{dx^{\gamma}}{d\tau}=0.$$ que describe "cómo" se mueven los objetos en el espacio-tiempo. Pero no tengo ni idea de "por qué" se mueven a lo largo de la geodésica.

¿Es esto similar a preguntar por qué funciona la primera ley de Newton? Creo recordar haber leído que Richard Feynman dijo que nadie sabe por qué es así, así que tal vez esa sea la respuesta a mi pregunta geodésica.

Answer 1

Puedes pensarlo así:

1) Tome una partícula libre, póngala en algún punto del espaciotiempo y déjela evolucionar.

2) Imagina que el movimiento no es geodésico, es decir $a_\mu\equiv v^\nu v_{\mu;\nu}\neq 0$ o, en otras palabras, la aceleración no es cero. Nota: Sabemos que $a_\mu v ^\mu = 0$ o la 4-aceleración es normal a la 4-velocidad.

3) Imagina que eres esa misma partícula, es decir, que estás en el marco de referencia donde $v^\mu=(0,0,0,1)$ . Debido a que la aceleración 4 y la velocidad 4 son ortogonales, todavía "verás" un vector 3 de aceleración distinto de cero en este marco. No me extenderé mucho en esto, pero si escribes las ecuaciones del movimiento de las partículas de prueba situadas a tu alrededor, las verás acelerando en la dirección de $\bf{a}$ . Me remito al capítulo sobre los marcos de referencia comoving.

Ahora el remate. Como la masa inercial es equivalente a la masa gravitatoria pasiva, nunca podrás distinguir si estás parado o en movimiento en un campo gravitatorio. Pero si puedes ver una aceleración aparente de 3, entonces sí puedes distinguir al darte cuenta de que no estás parado. De ahí la contradicción.

Para concluir, el hecho de que todo se mueva a lo largo de la geodésica está estrechamente relacionado con el principio de equivalencia.

Answer 2

Que esto funcione para un masa de prueba es esencialmente un postulado, que, como indica Respuesta de Alexey Bobrick está relacionado con el principio de equivalencia.

Por otro lado, se plantea la hipótesis de que se puede demostrar que este comportamiento es una consecuencia directa de las ecuaciones de Einstein para masas físicas . Sin embargo, para demostrarlo hay que resolver las ecuaciones de Einstein en su totalidad, y el progreso en esa dirección es, hasta donde yo sé, incompleto. Lo que sigue es un relato parcial (y ciertamente incompleto) de algunos de los que se han hecho.

Uno de los primeros ataques al problema vino del propio Einstein. En un trabajo conjunto de Infeld y Hoffman la partícula puntual se trata como un punto (Dirac $\delta$ ) singularidad en el espacio-tiempo. Se escribe la ecuación de Einstein y se expande en el límite newtoniano. Se demuestra que la expansión en serie resultante tiene un primer término que corresponde al movimiento geodésico, y un segundo término que da la primera corrección relativista (que puede utilizarse para explicar la precesión del perihelio).

El problema fue planteado de nuevo por Geroch y Jang en 1975. En ese artículo la materia se trata simplemente como su tensor de energía y momento. Es decir, se considera que la materia está representada por un tensor doble simétrico sin divergencia (el lado derecho de la ecuación de Einstein) que satisface algunas condiciones de energía. El principal resultado de ese trabajo es que si $\gamma$ es una curva espacio-temporal tal que para cada vecindad $U$ de $\gamma$ existe un bitensor simétrico sin divergencia que desaparece fuera de $U$ y sin embargo no se desvanece en todas partes, entonces $\gamma$ es una geodésica de tipo temporal. (También hay que ver este documento de Weatherall para algunos comentarios más).

El teorema de Geroch-Jang ha sido revisado y generalizado por Ehlers y Geroch en 2004. Es interesante notar, como comentario al margen, que un análogo del teorema de Geroch-Jang también es cierto en las teorías de la gravedad de Newton-Cartan; este resultado se debe a Weatherall .

DMA Stuart adoptó un enfoque diferente del problema. Consideró un modelo de materia específico (en su caso, la ecuación de onda semilineal que se sabe que admite soluciones de solitones) y demostró que los solitones en la teoría acoplada gravitacionalmente viajan a lo largo de geodésicas similares al tiempo. Las referencias pertinentes son este documento y este otro documento ambos de 2004. (Advertencia: en ambos hay fuertes dosis de teoría de las EDP).

Un punto de vista aún diferente fue dado por Gralla y Wald . En ese trabajo consideraron una partícula puntual como límite de escala de una familia de métricas correspondientes a las soluciones de las ecuaciones de Einstein que poseen un cuerpo coherente o un agujero negro, y derivaron una ecuación de movimiento para la partícula limitante. Este punto de vista también fue retomado por Iva Stavrov donde se construyeron los conjuntos de datos iniciales que generan dicha familia. En cierto sentido, este método es la contrapartida rigurosa del trabajo original de Einstein-Infeld-Hoffman mencionado anteriormente.

Nota: : Cualquier omisión de lo anterior representa los límites de mi propio conocimiento; es muy probable que haya otros grandes cuerpos de trabajo relacionados con la hipótesis geodésica con los que no estoy familiarizado. Desgraciadamente, la expresión "hipótesis geodésica" tiene dos significados distintos en la física teórica que yo conozca. Uno es el de la relatividad general. El otro se refiere a una hipótesis (debida a M.F. Atiyah y N.S. Manton) en física de altas energías, según la cual la dinámica de los solitones puede describirse mediante geodésicas en un determinado espacio de moduli de soluciones. Así que puede ser un poco confuso para hacer una búsqueda bibliográfica.

Answer 3

Está relacionado con lo que Einstein llamó "el pensamiento más feliz de mi vida", que para un observador que cae libremente desde el tejado de una casa, el campo gravitatorio no existe.

Si pudiéramos elegir un sistema de coordenadas y una definición adecuada de la derivada, de modo que la aceleración (la derivada de la velocidad) fuera cero para ese caso, la sensación de la persona en caída libre coincidiría con las matemáticas.

GR hace ese trabajo. El sistema de coordenadas está definido por el tensor métrico, y la ecuación geodésica no es más que el resultado de poner a cero la derivada covariante de la 4-velocidad.

Si hacemos una analogía desde el espaciotiempo de 4 dimensiones a una superficie bidimensional de la tierra, el cambio de perspectiva es similar a darse cuenta de que el viaje en avión de Tokio a París es una curva si se observa en un atlas mundial común de la revista de aerolíneas. Pero es "recto" si unimos las 2 ciudades por una cuerda en un globo terráqueo.

Answer 4

El resultado de que una partícula de prueba que cae libremente (una partícula cuyo efecto en el espacio-tiempo puede despreciarse) en un campo gravitatorio se mueve a lo largo de una geodésica puede deducirse (como un teorema de matemáticas) del principio de equivalencia, que es una hipótesis de la teoría general de la relatividad.

Answer 5

Es como preguntar por qué funciona la primera ley de Newton. Primero debemos definir los marcos de referencia inerciales, que son los marcos en los que funciona la primera ley de Newton (texto de Lo grande y lo pequeño ).

• Un marco de referencia inercial es aquel en el que los cuerpos inerciales permanecen en reposo o en movimiento uniforme.

Está implícito en esta definición que los marcos de referencia inerciales son locales. Es decir, un sistema de referencia inercial describe sólo una región región finita del espaciotiempo en la que la desviación del reposo o del movimiento movimiento uniforme no es medible y puede despreciarse. El tamaño de esta región depende de la precisión de la medición, pero cabe señalar que un segundo de tiempo corresponde a un segundo de luz de distancia. En términos de de las escalas de tiempo normales, lo local se refiere a intervalos de tiempo bastante cortos.

Un objeto inercial, es decir, en caída libre, sigue una trayectoria localmente localmente en un sistema de referencia inercial, en la dirección de su su velocidad 4 en el espaciotiempo.

Una geodésica se define por el transporte paralelo de un vector en la dirección que especifica. Así, la velocidad 4 determina una geodésica en el espaciotiempo. El movimiento geodésico es simplemente una declaración de la primera ley de Newton, que en un marco de referencia inercial, los objetos inerciales objetos inerciales permanecen en reposo o en movimiento uniforme en línea recta. La curvatura del espaciotiempo significa que, en escalas de distancia mayores, los objetos inerciales inerciales siguen trayectorias curvas, como la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.