En este ejercicio tenemos $X$, un 2-complejo obtenidos a partir de $S^1$ uniendo dos 2-las células por los mapas de grado 2 y 3, respectivamente. Estoy tratando de ver por qué la $X \simeq S^2$, en la parte b) del ejercicio. Me parece que no puede construir un homotopy equivalencia mapa. Tal vez hay una forma de demostrar que sin la construcción de los mapas actuales? Podría usted ayudar?
Respuesta
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Estos dos mapas $S^2 \to X \to S^2$ dar la homotopy equivalencia $S^2 \simeq X$, como se comprueba laboriosamente o usando el Corolario de 4.33 en Hatcher.
Si $A = \rho \cup \gamma \cup \beta$, luego
$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} X @>>> X/A \\ @A\cong AA @V \cong VV \\ S^2 @>>\text{deg}\, =\, 3> S^2 \end{CD} $$and if $ = \Rho \cup \gamma \cup \alpha$, then $X \a X/A$ is equivalent to $S^2 \underset{\text{deg}\, =\,2}{\xrightarrow{\phantom{\text{deg}\, =\,2}}} S^2$.
