Norma de adjoint

Question

Supongamos que tenemos 2 inyectiva continua de los operadores con densos $A$ $B$ sobre un espacio de Hilbert $\mathbb H$ $B$ es auto adjunto. Más que no ser constantes $a_1$ $a_2$ tal que-

$a_1\|Bu\| \leq \|Au\| \leq a_2\|Bu\|$ todos los $u \in \mathbb H$.

Podemos demostrar que para $A^{*}$, el adjunto de a$A$, -

$a_1\|Bu\| \leq \|A^{*}u\| \leq a_2\|Bu\|$ todos los $u \in \mathbb H$.

Esto es obviamente cierto al $A$ es normal. Es cierto no normal de los operadores?

Answer 1

Considerar en $\Bbb{R}^2$,$B(v_1)=3v_1$ y $B(v_2)= 12 v_2$. Deje $A(v_1) = v_2$ $A(v_2)= 4v_1$ donde $v_1 = (1,0)$ $v_2=(0,1)$ Tenga en cuenta que $$|A(v)|=\frac{1}{3}|B(v)|$$

Así llegamos a la conclusión de que $$a_1\|Bu\| \leq \|Au\| \leq a_2\|Bu\| $$

con $a_1 = \frac{1}{3}$ $a_2 = \frac{1}{3}$

Ahora tenga en cuenta que $A*(v_1)= 4v_2$

$$|A^*(v_1)|\nleq \frac{1}{3} B(v_1)$$

De ahí no se sigue que $$a_1\|Bu\| \leq \|A^{*}u\| \leq a_2\|Bu\| $$

Nota: y $AA^* \neq A^*A$. $A$ no es normal operador.