Es allí cualquier manera de caracterizar el conjunto de complejas matrices con Gaussiano entero entradas cuyo inversas, también han de Gauss entero entradas? Soy consciente de los numerosos ejemplos de matrices de enteros cuyo inversas, también han entero entradas (que generalmente involucran los coeficientes binomiales), pero me pregunto si esas construcciones pueden ser generalizados a los enteros de Gauss.
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Justin Dearing
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Si $A$ es una matriz sobre cualquier anillo conmutativo tal que $A^{-1}$ también tiene entradas en ese anillo, entonces de la ecuación $AA^{-1} = I$ vemos que el determinante de a $A$ debe ser una unidad. Y por el contrario, si $\det(A)$ es una unidad, entonces la $A^{-1}$ tienen entradas en el anillo (usando la fórmula de matriz adjunta). Así, en particular, a partir de las unidades en el anillo de los enteros de Gauss se $\pm 1, \pm i$, se deduce que una matriz cuadrada tiene inversa cuyas entradas son también enteros de Gauss si y sólo si su determinante es igual a $\pm 1, \pm i$.
Rob Lachlan
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Si $R$ es un sub-anillo de $\Bbb C$, el grupo de ${\rm GL}_n(R)$ de la invertible matrices con coeficientes en $R$ se compone de las matrices con determinante en $R^\times$ (el grupo de los invertible elementos en $R$).
Por lo tanto, si $R={\Bbb Z}[i]$ es el anillo de los enteros de Gauss, el grupo ${\rm GL}_n(R)$ se compone de las matrices de $M$ con coeficientes en $R$ tal que $$ \det(M)\in\{\pm1,\pm i\}. $$
