Buscar $\sin A$ y $\cos A$ si $\tan A+\sec A=4 $

Question

Cómo encontrar $\sin A$ y $\cos A$ si $$\tan A+\sec A=4 ?$ $

¿He intentado encontrar en $\tan A=(\sin A)/(\cos A)$ y $\sec A=1/\cos A$ por lo tanto $\tan A+\sec A=(\sin A+1)/\cos A=4$ que implica $\sin A+1=4\cos A.$ entonces...?

Answer 1

No $t=\tan \frac{A}{2}$ $\tan A = \frac{2t}{1-t^2}$ y $\cos A = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ % que $$\begin{align*}\frac{1+t^2}{1-t^2} + \frac{2t}{1-t^2}&=\frac{(1+t)^2}{1-t^2} \\ & = \frac{(1+t)(1+t)}{(1-t)(1+t)} \\ & = \frac{1+t}{1-t} = 4\end{align*}$$

Así, suponiendo que $t\neq 1$ obtenemos $t = \frac{3}{5}$. De esta forma, usted puede encontrar $\cos A$ y $\sin A$.

Answer 2

Otro método: %#% $ #% ahora resolver $$\tan^2A=\sec^2A-1=(4-\tan A)^2-1.$.

Answer 3

Rendimientos de reorganizar la identidad $1 + \tan^2A = \sec^2A$ $$\sec^2A - \tan^2A = 1$ $
Factoring los rendimientos desde $$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$ $\sec A + \tan A = 4$ $, tenemos $$4(\sec A - \tan A) = 1$ $ que produce el sistema de ecuaciones\begin{align*} \sec A + \tan A & = 4\\ \sec A - \tan A & = \frac{1}{4} \end{align*} resolver el sistema de $\sec A$ y $\tan A$, entonces usar las identidades\begin{align*} \cos A & = \frac{1}{\sec A}\\ \sin A & = \tan A\cos A \end{align*} para solucionar para seno y coseno.

Answer 4

Puesto que usted ha $\sin A + 1 = 4 \cos A$, puede cuadrado ambos lados para producir $$ \sin^2 + 2 \sin Un + 1 = 16 \cos^2 = 16 (1 - \sin^2). $$ Reordenando, obtenemos $$ 17 \sin^2 + 2 \pecado - 15 = 0 $$ que es una ecuación de segundo grado en $\sin A$ y puede ser resuelto a obtener $$ \sen A = \frac{ -2 \pm 32}{34} = \left\{ \frac{15}{17}, -1 \right\}. $$ y entonces tenemos que tener en $$ \cos A = \pm \sqrt{ 1 - \sin^2} = \left\{ \pm \frac{8}{17}, 0 \right\}. $$

Ahora tenemos tres posibles soluciones para esta ecuación. Sin embargo, ya que el cuadrado de la ecuación y en un punto multiplicado por $\cos A$, podemos han introducido soluciones espurias; por lo que debe comprobar para asegurarse de que estos resultados realmente satisfacen la ecuación original. Resulta que sólo una de estas soluciones realmente satisface la ecuación original; que uno se deja como ejercicio para el lector.

Answer 5

Junto con $$\sin A+1=4\cos A $ $ puede utilizar $\sin^2A+\cos^2A=1$ $$(\sin A+1)(\sin A-1)=\cos^2 A\ .$ $ juntando los dos conseguir fácilmente $$4\cos A(\sin A-1)=\cos^2 A\ ,$ $ y por lo tanto %#% $ de #% ahora solo tiene que resolver el sistema lineal en $$4\sin A-4=\cos A\ .$ y $\sin A$: $$\begin{cases} 4\sin A-4=\cos A\\ \sin A+1=4\cos A \end{casos} $$