Pruebas rigurosas de que $\displaystyle\frac{1}{3} = 0.333\ldots$

Question

Soy un Precálculo del estudiante tratando de encontrar una rigurosa prueba de que $\displaystyle\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, pero no lo pude encontrar. Creo (solo creo) que esta prueba sería empezar por demostrar que

$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}3\cdot10^{-i} = \frac{1}{3}$. Mis conjeturas (suponiendo que demostrar que $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^i$ converge es trivial):

$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}3\cdot10^{-i} = 3\cdot\sum_{i = 1}^{\infty}10^{-i} = 3\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^i = 3\cdot\left(\frac{1}{1 - \frac{1}{10}}-1\right) = 3\cdot\left(\frac{10}{9}-1\right) = \frac{1}{3}$.

Pregunta: es esto completamente rigurosa? Que los defectos se puede encontrar en esta prueba? ¿Cómo puedo mejorar?

PS. No estoy seguro de cómo esta etiqueta. Siéntase libre de modificar, si es necesario.

Answer 1

Desde $\sum_{i=1}^\infty 3\cdot 10^{-i}$ es lo que la notación "$0.333...$" significa, su argumento es perfectamente bueno. No es sólo el "principio de prueba", es todo allí está a él.

Bueno, tal vez no es realmente trivial demostrar que la serie geométrica converge, pero sencillo que es. Simplemente enchufe en la definición de la suma de una serie y la manivela de la manija, utilizando el estándar de trucos para reescribir cada una de las sumas parciales.

Answer 2

La prueba es correcta. Básicamente lo que resultó fue la convergencia de la serie geométrica.

Alternativamente, si desea evitar el uso de la serie geométrica de la fórmula y sólo tiene que utilizar una forma muy sencilla límite argumento, tenga en cuenta que , $(3)(.333...) = .999... = 1$ $\text{ }$ Para ver esto, observe que $.999... = \sum_{i = 1}^\infty \frac{9}{10^i}$ converge a $1$. Echa un vistazo a las sumas parciales. Por lo tanto $.333... = \frac{1}{3}$.