He estado tratando de entender lo $p$-ádico números y $p$-ádico enteros son hoy en día. Me pueden decir si tengo derecho? Gracias.
Deje $p$ ser una de las primeras. A continuación, definimos el anillo de $p$-ádico enteros para ser $$ \mathbb Z_p = \{ \sum_{k=m}^\infty a_k p^k \mid m \in \mathbb Z, a_k \in \{0, \dots, p-1\} \} $$
Es decir, el $p$-ádico enteros son un poco como el poder formal de la serie con el indeterminado $x$ reemplazados con $p$ y los coeficientes en $\mathbb Z / p \mathbb Z$. Así, por ejemplo, un $3$-ádico enteros podría tener este aspecto: $1\cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 9 = 16$ o $\frac{1}{9} + 1 $ y así sucesivamente. Básicamente, tenemos todos los números naturales, las fracciones de los poderes de $p$ y la suma de los dos.
Este es un anillo (como poder formal de la serie). Ahora queremos convertirlo en un campo. Para ello tomamos el campo de fracciones con elementos de la forma $$ \frac{\sum_{k=m}^\infty a_k p^k}{\sum_{k=r}^\infty b_k p^k}$$ para $\sum_{k=r}^\infty b_k p^k \neq 0$. Denotamos este campo por $\mathbb Q_p$.
Ahora resulta que, $\mathbb Q_p$ es lo mismo que lo que tenemos si nos tomamos el anillo de fracciones de $\mathbb Z_p$ para el conjunto de $S=\{p^k \mid k \in \mathbb Z \}$. Esta no la puedo ver. Porque entonces esto significaría que cada número $$ \frac{\sum_{k=m}^\infty a_k p^k}{\sum_{k=r}^\infty b_k p^k}$$ can also be written as $$ \frac{\sum_{k=m}^\infty a_k p^k}{p^r}$$ y de alguna manera yo no lo creo. Así que ¿dónde está mi error? Gracias por tu ayuda.
